Question

7．一質(zhì)量不計(jì)的直角形支架兩端分別連接質(zhì)量均為m的小球A和B．支架的兩直角邊長度分別為2l和l，支架可繞固定軸O在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示．開始時(shí)OA邊處于水平位置，由靜止釋放，則（　�。�

• A． OA邊轉(zhuǎn)動(dòng)到豎直位置時(shí)，A球的速度為2$\sqrt{gl}$
• B． A球速度最大時(shí)，兩小球的總重力勢能最小
• C． A球速度最大時(shí)，兩直角邊與豎直方向的夾角為45°
• D． A、B兩球的最大動(dòng)能之比E_KA：E_KB=2：1

Answer 1

分析 AB兩個(gè)球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但對于單個(gè)的球來說機(jī)械能是不守恒的，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒列式可以求得AB之間的關(guān)系，同時(shí)由于AB是同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的，它們的角速度的大小相同．

解答 解：A、設(shè)A球到達(dá)豎直位置時(shí)，A球和B球的速度分別設(shè)為v_A和v_B．
根據(jù)題意知兩球的角速度相同，線速度之比為 v_A：v_B=（ω•2l）：（ω•2l）=2：1；
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：mg•2l-mgl=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$mv_B²
聯(lián)立解得：v_A=$\sqrt{\frac{8}{5}gl}$，故A錯(cuò)誤．
B、A球速度最大時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)能最大，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒可知兩球總重力勢能最小，故B正確；
C、當(dāng)OA與豎直方向的夾角為θ時(shí)，由機(jī)械能守恒得：
  mg•2lcosθ-2mg•l（1-sinθ）=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$mv_B²，
又v_A=2v_B
解得：v_A²=$\frac{8}{5}$gl（sinθ+2cosθ）-$\frac{8}{5}$gl=$\frac{8}{5}$$\sqrt{5}$glsin（θ+α）-$\frac{8}{5}$gl，式中 tanα=2，α=arctan2
由數(shù)學(xué)知識(shí)知，當(dāng)θ=90°-arctan2≠45°時(shí)，sinθ+2cosθ有最大值，A球速度最大，故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)題意知兩球的角速度相同，線速度之比為v_A：v_B=2：1，由動(dòng)能E_K=$\frac{1}{2}$mv²，得最大動(dòng)能之比為：4：1；故D錯(cuò)誤；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題中的AB的位置關(guān)系并不是在一條直線上，所以在球AB的勢能的變化時(shí)要注意它們之間的關(guān)系，在解題的過程中還要用到數(shù)學(xué)的三角函數(shù)的知識(shí)，要求學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功要好，本題由一定的難度．