Question

14．2010年10月1日，我國成功發(fā)射了“嫦娥二號”探月衛(wèi)星．“嫦娥二號”在距月球表面100km高度的軌道上做圓周運動，這比“嫦娥一號”距月球表面200km的圓形軌道更有利于對月球表面做出精細測繪．已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的$\frac{1}{80}$，月球的半徑約為地球半徑的$\frac{1}{4}$，地球半徑6400km，地球表面附近的重力加速度為10m/s²．求：
（1）月球表面附近的重力加速度；
（2）“嫦娥一號”與“嫦娥二號”在各自圓軌道上運行速度的大小之比．（已知$\sqrt{\frac{17}{18}}$≈0.97）

Answer 1

分析 （1）星球表面重力與萬有引力相等，求得重力加速度的表達式，再根據(jù)地月半徑質(zhì)量關系和地球表面的重力加速度求得月球表面的重力加速度；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力，由軌道半徑關系求得線速度之比．

解答 解：（1）在星球表面的物體受到的重力等于星球對它的萬有引力，
即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，解得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
$\frac{{g}_{月}}{{g}_{地}}$=$\frac{\frac{G{M}_{月}}{{R}_{月}^{2}}}{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}^{2}}}$=$\frac{{M}_{月}{R}_{地}^{2}}{{M}_{地}{R}_{月}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{80}{M}_{地}{R}_{地}^{2}}{{M}_{地}×（\frac{1}{4}{R}_{地}）^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
g_月=$\frac{1}{5}$g_地=2m/s²；
（2）衛(wèi)星做圓周運動的向心力由萬有引力提供，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
線速度之比：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}}}}{\sqrt{\frac{GM}{{r}_{2}}}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{\frac{1}{4}×6400+100}{\frac{1}{4}×6400+200}}$≈0.97；
答：（1）月球表面附近的重力加速度是2m/s²；
（2）“嫦娥一號”與“嫦娥二號”在各自圓軌道上運行速度的大小之比為0.97．

點評 本題考查了萬有引力定律的應用，掌握萬有引力應用的思路即可解題；萬有引力問題主要從星球表面重力與萬有引力相等，萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運動的向心力求解．