Question

13．有一輛質(zhì)量為1t的小汽車駛上圓弧半徑為90m的拱橋，（g=10m/s²，R_地=6400km）
（1）汽車到達(dá)橋頂是速度為9m/s，汽車對(duì)橋的壓力有多大？
（2）汽車以多大速度經(jīng)過(guò)橋頂時(shí)恰好對(duì)橋沒(méi)有壓力？
（3）如果拱橋的半徑增大到與地球半徑R一樣，汽車要在橋面騰空，速度要多大？
（4）如果發(fā)射一顆地球衛(wèi)星，至少需要多大的速度？

Answer 1

分析 （1）汽車在橋頂，由豎直方向上的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出橋?qū)ζ�車的支持力，從而得出汽車�?duì)橋的壓力．
（2）（3）當(dāng)汽車對(duì)橋的壓力為零時(shí)，豎直方向上僅受重力，根據(jù)牛頓第二定律求出汽車的速度；
（4）根據(jù)重力提供向心力即可求出．

解答 解：（1）1t=1000kg
根據(jù)牛頓第二定律有：mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
則得，N=mg-m$\frac{{v}^{2}}{R}$=1000×10-1000×$\frac{{9}^{2}}{90}$N=9900N．
根據(jù)牛頓第三定律得，汽車對(duì)橋的壓力大小為9900N．
（2）當(dāng)汽車對(duì)橋的壓力為零時(shí)，有：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
則得，v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×90}$=30m/s
故汽車以20 m/s速度經(jīng)過(guò)橋頂時(shí)便恰好對(duì)橋沒(méi)有壓力而騰空．
（3）如果拱橋的半徑增大到與地球半徑R一樣，汽車要在橋面騰空時(shí)，汽車對(duì)橋的壓力為零時(shí)，有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{地}}$
則：${v}_{1}=\sqrt{g{R}_{地}}=\sqrt{10×6400×1{0}^{3}}$=8×10³m/s
（4）衛(wèi)星在地球的表面做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)需要的發(fā)射速度最小，此時(shí)：mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{地}}$
所以：v₂=v₁=8×10³m/s
答：（1）汽車到達(dá)橋頂時(shí)速度為9m/s，汽車對(duì)橋的壓力是9900N；
（2）汽車以30m/s的速度經(jīng)過(guò)橋頂時(shí)恰好對(duì)橋沒(méi)有壓力而騰空；
（3）如果拱橋的半徑增大到與地球半徑R一樣，汽車要在橋面騰空，速度要8×10³m/s；
（4）如果發(fā)射一顆地球衛(wèi)星，至少需要的速度是8×10³m/s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道在橋頂豎直方向上的合力提供汽車運(yùn)動(dòng)所需的向心力，會(huì)根據(jù)牛頓第二定律列出表達(dá)式．