Question

18．某校科技節(jié)期間舉辦“云霄飛車”比賽，小敏同學(xué)制作的部分軌道如圖（1）所示，傾角θ=37°的直軌道AB，半徑R₁=1m的光滑圓弧軌道BC，半徑R₂=0.4m的光滑螺旋圓軌道CDC′，如圖（2）所示，光滑圓軌道CE，水平直軌道FG（與圓弧軌道同心圓O₁等高），其中軌道BC、C′E與圓軌道最低點(diǎn)平滑連接且C、C′點(diǎn)不重疊，∠BO₁C=∠CO₁E=37°．整個(gè)軌道在豎直平面內(nèi)，比賽中，小敏同學(xué)讓質(zhì)量m=0.04kg的小球從軌道上A點(diǎn)靜止下滑，經(jīng)過BCDC′E后剛好飛躍到水平軌道F點(diǎn)，并沿水平軌道FG運(yùn)動(dòng)．直軌道AB與小球的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）小球運(yùn)動(dòng)至圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的作用力大�。�
（3）A點(diǎn)離水平地面的高度．

Answer 1

分析 （1）小球從E運(yùn)動(dòng)到F的過程其逆過程是平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求得小球離開E點(diǎn)時(shí)豎直分速度，再由分速度關(guān)系求出小球運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）從D到F的過程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求出小球通過D點(diǎn)的速度．小球運(yùn)動(dòng)至圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)，由重力和軌道的作用力的合力提供向心力，由向心力公式求軌道對(duì)小球的作用力，從而得到小球?qū)�軌道的作用力大小�?br />（3）從A到F的過程，由動(dòng)能定理列式，可求得A點(diǎn)離水平地面的高度．

解答 解：（1）小球從E運(yùn)動(dòng)到F的逆過程是平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球離開E點(diǎn)時(shí)豎直分速度為v_y，小球運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)時(shí)的速度大小為v_F．則有：
v_y=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2g•{R}_{1}cos37°}$=$\sqrt{2×10×1×0.8}$=4m/s
由分速度關(guān)系得：tan37°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{F}}$
解得：v_F=$\frac{16}{3}$m/s
（2）從D到F的過程，由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$+2mgR₂=mgR₁+$\frac{1}{2}m{v}_{F}^{2}$
在D點(diǎn)，對(duì)小球，由向心力公式得：mg+N=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{{R}_{2}}$
聯(lián)立解得：N≈4.64N
由牛頓第三定律知，小球運(yùn)動(dòng)至圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的作用力大小為4.64N．
（3）設(shè)A點(diǎn)離水平地面的高度為H．從A到F的過程，由動(dòng)能定理得：
 mg（H-R₁）-μmgcosθ•$\frac{H-{R}_{1}（1-cos37°）}{sin37°}$=$\frac{1}{2}m{v}_{F}^{2}$-0
解得：H≈3.9m
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)時(shí)的速度大小是$\frac{16}{3}$m/s；
（2）小球運(yùn)動(dòng)至圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的作用力大小是4.64N；
（3）A點(diǎn)離水平地面的高度是3.9m．

點(diǎn)評(píng) 本題要求同學(xué)們能正確分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，掌握平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法：運(yùn)動(dòng)的分解法．在軌道光滑的情況下，往往運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求速度或高度．有摩擦力時(shí)往往根據(jù)動(dòng)能定理求高度．