Question

12．一質(zhì)量m=0.2kg的小球從距水平地面H=10m的高度無(wú)初速度釋放，經(jīng)t=2s的時(shí)間到達(dá)地面，后經(jīng)地面作用豎直反彈．每次與地面碰撞時(shí)間忽略不計(jì)．碰撞后速度大小不變；小球在空中所受的空氣阻力大小f恒定．取g=10m/s²．求：
（1）在空中所受的空氣阻力大小f；
（2）第一次碰撞后上升的最大高度；
（3）第99次碰撞后上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）由勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的位移公式求出小球下落的加速度，由牛頓第二定律求出空氣阻力．
（2）求出小球第一次反彈后的速度，小球向上做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出加速度，然后求出反彈的高度．
（3）應(yīng)用勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)速度位移公式求出小球上升的高度．

解答 解：（1）小球下落時(shí)做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，
下落的加速度：a₁=$\frac{2H}{{t}^{2}}$=5m/s²，
對(duì)小球，由牛頓第二定律得：
mg-f=ma，解得：f=1N；
（2）小球落地時(shí)的速度：v=a₁t=10m/s，
由題意可知，小球反彈后向上運(yùn)動(dòng)的初速度為10m/s，
小球向上運(yùn)動(dòng)過(guò)程，加速度：a₂=$\frac{mg+f}{m}$=15m/s²，
小球向上做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，上升的最大高度：H₁=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{10}{3}$m；
（3）第一次碰撞后，下降過(guò)程的末速度：v₂²=2a₁H₁，
第二次碰撞后上升過(guò)程：v₂²=2a₂H₂，解得：H₂=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$H₁=（$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$）²H，
…
第99次碰撞后，上升過(guò)程：H₉₉=（$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$）⁹⁹H=$\frac{10}{{3}^{99}}$m；
答：（1）在空中所受的空氣阻力大小f為1N；
（2）第一次碰撞后上升的最大高度為$\frac{10}{3}$m；
（3）第99次碰撞后上升的最大高度為$\frac{10}{{3}^{99}}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求空氣阻力、小球上升的最大高度，分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與牛頓第二定律可以解題，解題時(shí)注意數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用．