Question

7．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，第Ⅰ象限的半徑R=h的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓與x、y坐標(biāo)軸切于D、A兩點(diǎn)，y＜0的區(qū)域內(nèi)存在著沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從電場(chǎng)中Q（-2h，-h）點(diǎn)以速度v₀水平向右射出，從坐標(biāo)原點(diǎn)O射入第Ⅰ象限，與水平方向夾角為α，經(jīng)磁場(chǎng)能以垂直于x軸的方向從D點(diǎn)射入電場(chǎng)．不計(jì)粒子的重力，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小以及α的正切值；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（3）帶電粒子從Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最終射出磁場(chǎng)的時(shí)間t（計(jì)算結(jié)果可用三角函數(shù)表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)位移求解電場(chǎng)強(qiáng)度，由勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得正切值；
（2）由（1）求得在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度，然后根據(jù)幾何關(guān)系求得半徑，即可由洛倫茲力做向心力求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)求得勻變速運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，由幾何關(guān)系求得在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的中心角即可求解總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中只受電場(chǎng)力作用，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：2h=v₀t，$h=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{qE}{2m}{t}^{2}=\frac{2qE{h}^{2}}{m{{v}_{0}}^{2}}$；
所以，$E=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qh}$；
故$a=\frac{qE}{m}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2h}$，所以，粒子在O點(diǎn)的豎直分速度${v}_{y}=at=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2h}•\frac{2h}{{v}_{0}}={v}_{0}$；$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$，α=45°；
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度$v={v}_{O}=\sqrt{{{v}_{y}}^{2}+{{v}_{0}}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$；
又因?yàn)榱Ｗ哟怪庇趚軸射出磁場(chǎng)，由幾何關(guān)系可知粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑$r=Rtan\frac{45°}{2}=htan\frac{π}{8}$；
由粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力做向心力可得：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{r}$；
所以，磁感應(yīng)強(qiáng)度$B=\frac{mv}{qr}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qhtan\frac{π}{8}}$；
（3）帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{1}=\frac{2h}{{v}_{0}}$；
從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)邊界做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度為v，位移為$（\sqrt{2}-1）R=（\sqrt{2}-1）h$，故時(shí)間${t}_{2}=\frac{（\sqrt{2}-1）h}{\sqrt{2}{v}_{0}}=\frac{（2-\sqrt{2}）h}{2{v}_{0}}$；
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)到D的過(guò)程轉(zhuǎn)過(guò)$π-\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}$；之后粒子從D點(diǎn)射入電場(chǎng)后折返進(jìn)入磁場(chǎng)，最后從磁場(chǎng)中射出，再次在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的中心角也為$\frac{3π}{4}$；
那么粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{3}=\frac{3}{4}T=\frac{3}{4}×\frac{2πr}{v}=\frac{3\sqrt{2}πhtan\frac{π}{8}}{4{v}_{0}}$；
在第四象限電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度和做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)相同，故往復(fù)時(shí)間${t}_{4}=\frac{2v}{a}=\frac{4\sqrt{2}h}{{v}_{0}}$；
所以，帶電粒子從Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最終射出磁場(chǎng)的時(shí)間$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}+{t}_{4}=（2+\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}πtan\frac{π}{8}}{4}+4\sqrt{2}）\frac{h}{{v}_{0}}$=$（3+\frac{7}{2}\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}πtan\frac{π}{8}}{4}）\frac{h}{{v}_{0}}$；
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qh}$；α的正切值為1；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qhtan\frac{π}{8}}$；
（3）帶電粒子從Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最終射出磁場(chǎng)的時(shí)間t為$（3+\frac{7}{2}\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}πtan\frac{π}{8}}{4}）\frac{h}{{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，加速電場(chǎng)一般由動(dòng)能定理或勻加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題則根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)合幾何條件求解．