Question

7．如圖所示，在平面直角坐標系xOy內(nèi)，第Ⅰ象限的半徑R=h的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直于坐標平面向外的勻強磁場，圓與x、y坐標軸切于D、A兩點，y＜0的區(qū)域內(nèi)存在著沿y軸正方向的勻強電場．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從電場中Q（-2h，-h）點以速度v₀水平向右射出，從坐標原點O射入第Ⅰ象限，與水平方向夾角為α，經(jīng)磁場能以垂直于x軸的方向從D點射入電場．不計粒子的重力，求：
（1）電場強度E的大小以及α的正切值；
（2）磁感應強度B的大��；
（3）帶電粒子從Q點運動到最終射出磁場的時間t（計算結(jié)果可用三角函數(shù)表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)類平拋運動位移求解電場強度，由勻變速運動規(guī)律求得正切值；
（2）由（1）求得在磁場中運動的速度，然后根據(jù)幾何關系求得半徑，即可由洛倫茲力做向心力求得磁感應強度；
（3）根據(jù)物體的運動求得勻變速運動的運動時間，由幾何關系求得在磁場中轉(zhuǎn)過的中心角即可求解總的運動時間．

解答 解：（1）粒子在勻強電場中只受電場力作用，做類平拋運動，由類平拋運動規(guī)律及牛頓運動定律得：2h=v₀t，$h=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{qE}{2m}{t}^{2}=\frac{2qE{h}^{2}}{m{{v}_{0}}^{2}}$；
所以，$E=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qh}$；
故$a=\frac{qE}{m}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2h}$，所以，粒子在O點的豎直分速度${v}_{y}=at=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2h}•\frac{2h}{{v}_{0}}={v}_{0}$；$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$，α=45°；
（2）粒子進入磁場的速度$v={v}_{O}=\sqrt{{{v}_{y}}^{2}+{{v}_{0}}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$；
又因為粒子垂直于x軸射出磁場，由幾何關系可知粒子做圓周運動的軌道半徑$r=Rtan\frac{45°}{2}=htan\frac{π}{8}$；
由粒子在磁場中做圓周運動，洛倫茲力做向心力可得：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{r}$；
所以，磁感應強度$B=\frac{mv}{qr}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qhtan\frac{π}{8}}$；
（3）帶電粒子在電場中做類平拋運動的時間${t}_{1}=\frac{2h}{{v}_{0}}$；
從O點運動到磁場邊界做勻速直線運動的速度為v，位移為$（\sqrt{2}-1）R=（\sqrt{2}-1）h$，故時間${t}_{2}=\frac{（\sqrt{2}-1）h}{\sqrt{2}{v}_{0}}=\frac{（2-\sqrt{2}）h}{2{v}_{0}}$；
粒子進入磁場到D的過程轉(zhuǎn)過$π-\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}$；之后粒子從D點射入電場后折返進入磁場，最后從磁場中射出，再次在磁場中轉(zhuǎn)過的中心角也為$\frac{3π}{4}$；
那么粒子在磁場中運動的時間${t}_{3}=\frac{3}{4}T=\frac{3}{4}×\frac{2πr}{v}=\frac{3\sqrt{2}πhtan\frac{π}{8}}{4{v}_{0}}$；
在第四象限電場中運動時加速度和做類平拋運動時相同，故往復時間${t}_{4}=\frac{2v}{a}=\frac{4\sqrt{2}h}{{v}_{0}}$；
所以，帶電粒子從Q點運動到最終射出磁場的時間$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}+{t}_{4}=（2+\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}πtan\frac{π}{8}}{4}+4\sqrt{2}）\frac{h}{{v}_{0}}$=$（3+\frac{7}{2}\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}πtan\frac{π}{8}}{4}）\frac{h}{{v}_{0}}$；
答：（1）電場強度E的大小為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qh}$；α的正切值為1；
（2）磁感應強度B的大小為$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qhtan\frac{π}{8}}$；
（3）帶電粒子從Q點運動到最終射出磁場的時間t為$（3+\frac{7}{2}\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}πtan\frac{π}{8}}{4}）\frac{h}{{v}_{0}}$．

點評 帶電粒子的運動問題，加速電場一般由動能定理或勻加速運動規(guī)律求解；偏轉(zhuǎn)電場由類平拋運動規(guī)律求解；磁場中的運動問題則根據(jù)圓周運動規(guī)律結(jié)合幾何條件求解．