Question

16．如圖所示，長(zhǎng)為$\sqrt{3}$L的輕繩，兩端分別固定在一根豎直棒上相距為L(zhǎng)的A、B兩點(diǎn)，一個(gè)質(zhì)量為m的光滑小圓環(huán)套在繩子上，當(dāng)豎直棒以一定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圓環(huán)以A為圓心在水平面上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則
（1）求此時(shí)輕繩上的張力T大��；
（2）豎直棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速ω．
（3）A點(diǎn)距地面高為$\frac{3L}{2}$，若某時(shí)刻輕繩從環(huán)處斷掉則求環(huán)落在水平地面上的區(qū)域范圍．

Answer 1

分析 （1、2）根據(jù)幾何關(guān)系求出環(huán)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，抓住小球豎直上合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的張力大小和角速度的大小．
（3）輕繩斷掉后，環(huán)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合線速度的大小求出平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移，根據(jù)幾何關(guān)系求出環(huán)落在水平地面上的區(qū)域范圍．

解答 解：（1、2）設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑為r，設(shè)繩子與水平方向的夾角為α，根據(jù)幾何關(guān)系有：${r}^{2}+{L}^{2}=（\sqrt{3}L-r）^{2}$，
解得r=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$．
cosα=$\frac{r}{\sqrt{3}L-r}=\frac{1}{2}$，即α=60°，
對(duì)小球進(jìn)行受力分析，
在豎直方向上有：Tsinα=mg
在水平方向上有：T+Tcosα=mω²r
聯(lián)立解得T=$\frac{2\sqrt{3}}{3}mg$，ω=$\sqrt{\frac{3g}{L}}$．
（3）輕繩斷掉時(shí)，小圓環(huán)的線速度v=$rω=\frac{\sqrt{3}}{3}L•\sqrt{\frac{3g}{L}}$=$\sqrt{gL}$，
根據(jù)H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×\frac{3L}{2}}{g}}=\sqrt{\frac{3L}{g}}$，
則平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移x=$vt=\sqrt{gL}•\sqrt{\frac{3L}{g}}=\sqrt{3}L$，
根據(jù)幾何關(guān)系知，R=$\sqrt{{x}^{2}+{r}^{2}}=\sqrt{3{L}^{2}+\frac{1}{3}{L}^{2}}=\frac{\sqrt{30}}{3}L$．
即環(huán)落在以桿為圓心，半徑為$\frac{\sqrt{30}}{3}L$的圓周上．
答：（1）此時(shí)輕繩的張力T大小為$\frac{2\sqrt{3}}{3}mg$．
（2）豎直棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為$\sqrt{\frac{3g}{L}}$．
（3）環(huán)落在水平地面上的區(qū)域范圍為以桿為圓心，半徑為$\frac{\sqrt{30}}{3}L$的圓周上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源是解決本題的關(guān)鍵．