Question

19．為了研究過山車的原理，某物理興趣小組提出了以下設(shè)想：取一個(gè)與水平方向夾角為θ=53°傾斜軌道AB，通過微小圓弧與水平軌道BC相連，其中L_AB=L_BC=3m，然后在C處設(shè)計(jì)一個(gè)豎直完整的光滑圓軌道，出口為水平軌道CD，如圖所示．現(xiàn)將一個(gè)質(zhì)量為m的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從距A點(diǎn)高為h=0.8m的水平臺面上以一定的初速度v₀水平彈出，到A點(diǎn)時(shí)速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下．已知物塊與AB和BC間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.25，g=10m/s²，求：
（1）物塊初速度v₀的大��；
（2）物塊滑過C點(diǎn)時(shí)的速率v_C；
（3）要使物塊不離開圓軌道，則豎直圓軌道的半徑R應(yīng)該滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律由高度求得豎直分速度，然后由末速度的方向求得初速度；
（2）對物塊從A到C的運(yùn)動過程應(yīng)用動能定理即可求解；
（3）根據(jù)物塊不脫離軌道得到物塊在圓軌道上的運(yùn)動情況，然后由機(jī)械能守恒求解．

解答 解：（1）物塊從平臺到A的過程做平拋運(yùn)動，故物塊在A處的豎直分速度為：
${v}_{y}=\sqrt{2gh}=4m/s$；
所以，物塊初速度為：${v}_{0}=\frac{{v}_{y}}{tan53°}=3m/s$
物塊在A處的速度為：${v}_{A}=\frac{{v}_{y}}{sin53°}=5m/s$；
（2）物塊從A到C的運(yùn)動過程只有重力、摩擦力做功，故由動能定理可得：
mgL_ABsin53°-μmgcos53°•L_AB-μmgL_BC=$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$；
解得：${v}_{C}=\sqrt{{{v}_{A}}^{2}+2g{L}_{AB}sin53°-2μg（{L}_{AB}cos53°+{L}_{BC}）}$=7m/s；
（3）要使物塊不離開圓軌道，物塊要么能通過圓軌道最高點(diǎn)，要么能到達(dá)的最高點(diǎn)高度小于半徑；
故若物塊能通過圓軌道最高點(diǎn)，那么對物塊在最高點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg≤\frac{m{v}^{2}}{R}$；
物塊在圓軌道上運(yùn)動只有重力做功，機(jī)械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{v}^{2}≥\frac{5}{2}mgR$
解得：$R≤\frac{{{v}_{C}}^{2}}{5g}=0.98m$；
若物塊能到達(dá)的最高點(diǎn)高度小于半徑，那么由機(jī)械能守恒可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=mgH≤mgR$
解得：$R≥\frac{{{v}_{C}}^{2}}{2g}=2.45m$；
答：（1）物塊初速度v₀的大小為3m/s；
（2）物塊滑過C點(diǎn)時(shí)的速率v_C為7m/s；
（3）要使物塊不離開圓軌道，則豎直圓軌道的半徑R≤0.98m或R≥2.45m．

點(diǎn)評 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關(guān)系求解．