Question

17．質(zhì)量為M₁、半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓槽，與一個(gè)質(zhì)量為M₂的光滑弧形槽，相對(duì)地放在光滑水平面上，連接處與水平面相切．一個(gè)質(zhì)量為m的物體從M₁頂端正上方高為h₀處自由落下，先沿M₁槽下滑，后又滑到M₂頂端時(shí)恰好與M₂相對(duì)靜止．
求：（1）物體m離開M₁時(shí)的速率；
（2）弧形槽M₂的高度h．

Answer 1

分析 （1）物體m與M₁作用的過程中，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，整個(gè)過程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，據(jù)此列式，聯(lián)立方程求解；
（2）m滑上M₂的過程中，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，據(jù)此列式，聯(lián)立方程求解．

解答 解：（1）物體m與M₁作用的過程中，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，
根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：mv₁+M₁v₂=0
整個(gè)過程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有：
$mg（{h}_{0}+R）=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{M}_{1}{{v}_{2}}^{2}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{2{M}_{1}g（{h}_{0}+R）}{{M}_{1}+m}}$
（2）m滑上M₂的過程中，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有：
mv₁+M₂v₂=（m+M₂）v，
$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}（m+{M}_{2}）{v}^{2}+mgh$，
聯(lián)立解得：h=$\frac{{M}_{1}{M}_{2}（{h}_{0}+R）}{（m+{M}_{1}）（m+{M}_{2}）}$
答：（1）物體m離開M₁時(shí)的速率為$\sqrt{\frac{2{M}_{1}g（{h}_{0}+R）}{{M}_{1}+m}}$；
（2）弧形槽M₂的高度h為$\frac{{M}_{1}{M}_{2}（{h}_{0}+R）}{（m+{M}_{1}）（m+{M}_{2}）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)量守恒定律以及機(jī)械能守恒定律的直接應(yīng)用，注意系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，最后又滑到M₂頂端時(shí)恰好與M₂相對(duì)靜止，說明了；兩者水平方向速度相同．