Question

11．如圖所示，電阻可以忽略不計(jì)的兩根金屬導(dǎo)軌與水平面成α=37°角固定，兩導(dǎo)軌彼此平行，表面光滑，上端接有阻值為R=3.0Ω的定值電阻．在水平虛線L₁、L₂之間存在與導(dǎo)軌所在平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B、磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d=0.50m．導(dǎo)體棒a的質(zhì)量m_a=0.20kg，電阻R_a=3.0Ω；導(dǎo)體棒b的質(zhì)量m_b=0.10kg，電阻R_b=6.0Ω．兩導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌垂直．現(xiàn)讓它們分別從圖中M、N位置同時(shí)由靜止開(kāi)始沿導(dǎo)軌無(wú)摩擦向下滑動(dòng)，并且恰好都能勻速穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域，當(dāng)b剛穿出磁場(chǎng)時(shí)a正好進(jìn)入磁場(chǎng)．不計(jì)a、b之間的相互作用，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中a、b棒始終與金屬導(dǎo)軌接觸良好．取重力加速度為g=10m/s²．sin37°=0.60，cos37°=0.80．試求：
（1）下滑過(guò)程中，安培力分別對(duì)a、b兩棒做的功；
（2）a、b兩棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小之比；
（3）a、b兩棒從開(kāi)始下滑到穿出磁場(chǎng)各經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)都能做勻速直線運(yùn)動(dòng)，安培力等于重力沿斜面方向的分力，分別求出a、b兩棒克服安培力的功．
（2）兩棒勻速穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中，安培力等于重力的分力．a(chǎn)棒勻速通過(guò)時(shí)，a棒相當(dāng)于電源，求出總電阻，b棒勻速通過(guò)時(shí)，b棒相當(dāng)于電源，求出總電阻．根據(jù)BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{總}(cāng)}$=mgsinθ，求出速度比．
（3）兩棒進(jìn)入磁場(chǎng)前做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，分別由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)受力平衡得：F_a=m_agsin37°
a棒克服安培力做的功為：W_a=-m_agdsin37°=-0.60J．
同理 W_b=m_bgdsin37°=-0.30J
（2）設(shè)ab進(jìn)入磁場(chǎng)的速度分別是v_a和v_b，
在a穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中，a是電源，b與R是外電路，E_a=BLv_a，${R}_{外1}=\frac{R•{R}_}{R+{R}_}=\frac{3.0×6.0}{3.0+6.0}Ω=2$Ω
通過(guò)a棒的電流：${I}_{a}=\frac{{E}_{a}}{{R}_{a}+{R}_{外1}}$
a棒受到的安培力：F_a=BI_a•L
根據(jù)力的平衡得：F_a=m_agsin37°
即：${m}_{a}gsin37°=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{a}}{{R}_{a}+{R}_{外1}}$   ①
在b穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中，b是電源，a與R是外電路；E_b=BLv_b，${R}_{外2}=\frac{R•{R}_{a}}{R+{R}_{a}}=\frac{3.0×3.0}{3.0+3.0}Ω=1.5$Ω
通過(guò)b棒的電流：${I}_=\frac{{E}_}{{R}_+{R}_{外2}}$
b棒受到的安培力：F_b=BI_b•L
根據(jù)力的平衡得：F_b=m_bgsin37°
即：${m}_gsin37°=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_}{{R}_+{R}_{外2}}$    ②
由①②兩式相比得：$\frac{{v}_{a}}{{v}_}=\frac{4}{3}$   ③
（3）兩棒沒(méi)有進(jìn)入磁場(chǎng)前的加速度：a=gsin37°=10×0.6m/s²=6m/s²④
a進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)，b出磁場(chǎng)，所以時(shí)間關(guān)系：$\frac{{v}_{a}}{a}=\frac{{v}_}{a}+\fracshf1k71{{v}_}$     ⑤
由③④⑤，并代入數(shù)據(jù)得：v_a=4m/s，v_b=3m/s
所以：${t}_{a}=\frac{{v}_{a}}{a}+\fracrskoenb{{v}_{a}}=\frac{4}{6}+\frac{0.50}{4}≈0.79$s
${t}_=\frac{{v}_}{a}+\frach61wjha{{v}_}=\frac{3}{6}+\frac{0.5}{3}≈0.67$s
答：（1）下滑過(guò)程中，安培力分別對(duì)a、b兩棒做的功為-0.60J和-0.30J；
（2）a、b兩棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小之比是4：3；
（3）a、b兩棒從開(kāi)始下滑到穿出磁場(chǎng)各經(jīng)歷的時(shí)間分別是0.79s和0.67s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵能夠正確地對(duì)a、b棒進(jìn)行受力分析，根據(jù)受力情況判斷物體的運(yùn)動(dòng)情況．以及知道在勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，安培力等于重力沿斜面方向的分力．