Question

14．一根足夠長的圓管豎直固定在地面上，管內(nèi)有一勁度系數(shù)為K=10N/m輕質(zhì)彈簧，彈簧上下端分別連有質(zhì)量可以忽略的活塞和質(zhì)量為m=0.1Kg的小球（小球直徑略小于管徑），已知活塞與管壁間的最大靜摩擦力f=1.4N，彈簧從自然長度開始伸長x的過程中平均彈力為F=$\frac{1}{2}$kx，滑動摩擦力等于最大靜摩擦力，g=10m/s²．當彈簧處于自然長度時由靜止釋放小球，在小球第一次運動到最低點的過程中（　�。�

• A． 小球先做加速度減小的加速運動，再做加速度增大的減速運動直到靜止
• B． 彈簧的最大伸長量為0.14m
• C． 當小球運動到最低點時，彈簧的彈性勢能為0.098J
• D． 活塞克服摩擦力做功大小為0.147J

Answer 1

分析 對小球進行受力分析，然后結(jié)合牛頓第二定律分析小球的運動，根據(jù)功能關(guān)系分析彈簧的彈性勢能的變化．

解答 解：A、小球的重力為：G=mg=0.1×10=1N
當彈簧的彈力等于小球的重力時：kx₀=mg
代入數(shù)據(jù)得：x₀=0.10m
小球開始向下運動的過程中彈簧逐漸變長，彈簧的彈力增大，開始時重力大于彈簧的彈力，小球向下做加速運動，加速度隨彈簧長度的增大而減小；當彈簧的拉力大于重力時，小球開始做減速運動，加速度隨彈簧長度的增大而增大，小球做加速度增大的減速運動；
當彈簧的彈力等于活塞受到的摩擦力時，活塞開始運動，彈簧不再增長；
所以彈簧最長時：kx_m=f
所以：x_m=$\frac{f}{k}=\frac{1.4}{10}=0.14$m．
由運動的對稱性可知，小球下降開始的0.1m內(nèi)做加速運動，在0.1m-0.14m內(nèi)做減速運動，由運動的對稱性可知，小球在彈簧長0.14m時，小球仍然有向下的速度．
此后小球繼續(xù)向下運動，由于活塞受到的摩擦力不變，所以小球做加速度不變的減速運動一直到小球到達最低點．故A錯誤；
B、由以上的分析可知，當彈簧的彈力等于活塞受到的摩擦力時，活塞開始運動，彈簧不再增長，所以彈簧最長時：kx_m=f
所以：x_m=$\frac{f}{k}=\frac{1.4}{10}=0.14$m．故B正確；
C、由運動的對稱性可知，小球下降開始的0.1m內(nèi)做加速運動，在0.1m-0.14m內(nèi)做減速運動，由運動的對稱性可知，小球在彈簧長0.14m時，小球仍然有向下的速度．由于活塞受到的摩擦力不變，所以彈簧的長度不變，一直到小球到達最低點．此時彈簧的彈性勢能為等于克服彈力做的功，即：${E}_{P}=\overline{F}•{x}_{m}=\frac{1}{2}k{x}_{m}^{2}=\frac{1}{2}×10×0.1{4}^{2}=0.098$J．故C正確；
D、小球下降0.14m時：$mg{x}_{m}-{E}_{P}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
小球繼續(xù)下降的過程中彈簧的長度不變，所以彈簧不做功，重力和摩擦力做功，則：mg$△x-f△x=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
W_f=f△x
聯(lián)立得：W_f=0.147J．故D正確．
故選：BCD

點評 該題屬于單物體多過程的情況，解答的關(guān)鍵是正確判斷出在彈簧的彈力達到1.4N后，活塞開始運動，小球?qū)⒆鰟驕p速直線運動．