Question

12．如圖所示，質(zhì)量M=2kg的木塊套在水平固定桿上，并用輕繩與質(zhì)量m=1kg的小球相連，今用跟水平方向成α=60°角的力F=10$\sqrt{3}$N拉著小球并帶動(dòng)木塊一起向右勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中M、m的相對(duì)位置保持不變，g=10m/s²．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求：
（1）輕繩與水平方向的夾角θ
（2）木塊M與水平桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（3）當(dāng)α為多大時(shí)，使球和木塊一起向右勻速運(yùn)動(dòng)的拉力最小．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球受力分析，受已知力、重力、細(xì)線的拉力，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）對(duì)小球和滑塊整體受力分析，受已知力、重力、彈力和摩擦力，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件列式求解；
（3）以整體為研究對(duì)象，水平方向根據(jù)牛頓第二定律求解F的表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求極值．

解答 解：（1）m處于平衡狀態(tài)，其合力為零．
以m為研究對(duì)象，由平衡條件得：
水平方向 Fcos60°-F_Tcosθ=0     ①
豎直方向Fsin60°-F_Tsinθ-mg=0   ②
解得：θ=30°
（2）M、m整體處于靜止?fàn)顟B(tài)，可看做整體，系統(tǒng)所受合力為零．
以M、m整體為研究對(duì)象．由平衡條件得
水平方向Fcos60°-μF_N=0       ③
豎直方向F_N+Fsin60°-Mg-mg=0  ④
由③④得μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）以整體為研究對(duì)象，水平方向根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件可得：Fcosα=μ[（m+M）g-Fsinα]，
解得：F=$\frac{μ（M+m）g}{cosα+μsinα}$=$\frac{μ（M+m）g}{\sqrt{{μ}^{2}+1}（\frac{1}{\sqrt{{μ}^{2}+1}}cosα+\frac{μ}{\sqrt{{μ}^{2}+1}}sinα）}$
令sinβ=$\frac{1}{\sqrt{{μ}^{2}+1}}$，則cosβ=$\frac{μ}{\sqrt{{μ}^{2}+1}}$，解得sinβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則β=60°；
則得F=$\frac{μ（M+m）g}{\sqrt{{μ}^{2}+1}sin（α+β）}$，當(dāng)α+β=90°時(shí)F最小，所以α=30°．
答：（1）輕繩與水平方向的夾角為30°；
（2）木塊M與水平桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）當(dāng)α為30°時(shí)，使球和木塊一起向右勻速運(yùn)動(dòng)的拉力最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題主要是考查了牛頓第二定律的知識(shí)；利用牛頓第二定律答題時(shí)的一般步驟是：確定研究對(duì)象、進(jìn)行受力分析、進(jìn)行正交分解、在坐標(biāo)軸上利用牛頓第二定律建立方程進(jìn)行解答；注意整體法和隔離法的應(yīng)用．