Question

4．如圖所示，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直平面內(nèi)，小球A、B質(zhì)量分別為m₁，m₂，球A、球B分別從與圓心O等高處由靜止開始沿軌道下滑，它們同時到達最低點并發(fā)生對心碰撞．碰后，球B能達到的最大高度為$\frac{1}{4}$R，而球A恰好能通過圓形軌道的最高點，則（　　）

• A． 從碰撞前后兩球的最大高度可推知，兩球發(fā)生的碰撞一定是非彈性的
• B． 從碰撞前后兩球的最大高度可推知，兩球發(fā)生的碰撞可能是非彈性的
• C． 小球A、B滿足的質(zhì)量關(guān)系為：$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$=$\frac{2+\sqrt{10}}{3}$
• D． 小球A、B滿足量關(guān)系為：$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$=2+$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 兩小球運動到最低點時的過程，根據(jù)動能定理即可求得碰撞前速度，根據(jù)碰撞后的高度以及運動狀態(tài)求出碰撞后的速度，再根據(jù)碰撞過程中系統(tǒng)動量守恒列式求解質(zhì)量關(guān)系，若是彈性碰撞，則碰撞過程中，系統(tǒng)機械能守恒，根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒求出質(zhì)量關(guān)系，進而判斷是否是彈性碰撞．

解答 解：根據(jù)動能定理$mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$可知，碰撞前AB的速度相等，都為v=$\sqrt{2gR}$，
碰撞后，A恰好能通過圓形軌道的最高點，則到達最高點的速度為$\sqrt{gR}$，根據(jù)動能定理可知
$\frac{1}{2}{m}_{1}{（\sqrt{gR}）}^{2}+mg•2R=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$，解得碰撞后A的速度：${v}_{1}=\sqrt{5gR}$，
球B能達到的最大高度為$\frac{1}{4}$R，則有：${m}_{2}g•\frac{1}{4}R=\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}$，解得碰撞后B的速度：${v}_{2}=\sqrt{\frac{5}{2}gR}$，
碰撞過程中，AB組成的系統(tǒng)動量守恒，以A的碰撞前速度為正方向，則有：
m₁v-m₂v=-m₁v₁+m₂v₂，
解得：$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$=$\frac{2+\sqrt{10}}{3}$
若是彈性碰撞，則碰撞過程中，系統(tǒng)機械能守恒，則有：
$（{m}_{1}+{m}_{2}）gR=\frac{1}{2}{m}_{1}（\sqrt{gR}）^{2}+{m}_{1}g•2R+{m}_{2}g$$•\frac{1}{4}R$
解得：$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}=2$≠$\frac{2+\sqrt{10}}{3}$，所以不是彈性碰撞，故AC正確，BD錯誤．
故選：AC

點評 本題解題的關(guān)鍵是對兩個小球運動情況的分析，知道小球做什么運動，并能結(jié)合機械能守恒、動量守恒等關(guān)系解題，難度適中．