Question

4．如圖所示，質(zhì)量M=2kg的物體置于可繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的平臺(tái)上，m用細(xì)繩通過光滑的定滑輪與質(zhì)量為m=1.6kg的物體相連，m懸于空中與M都處于靜止?fàn)顟B(tài)，假定M與軸O的距離r=0.5m，與平臺(tái)的最大靜摩擦力為其重力的0.6倍，試問：
（1）M受到的靜摩擦力最小時(shí)，平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₀為多大？
（2）要保持M與平臺(tái)相對(duì)靜止，M的線速度的范圍？

Answer 1

分析 （1）物體A與圓盤保持相對(duì)靜止且不受摩擦力時(shí)，繩子的拉力提供向心力，由牛頓第二定律即可求出；
（2）當(dāng)此平面繞中心軸線以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若M恰好要向里滑動(dòng)時(shí)，ω取得最小值，此時(shí)M所受的靜摩擦力達(dá)到最大，方向沿半徑向外，由最大靜摩擦力和繩子拉力的合力提供M所需要的向心力．若M恰好要向外滑動(dòng)時(shí)，ω取得最大值，此時(shí)M所受的靜摩擦力達(dá)到最大，方向沿半徑向里，由最大靜摩擦力和繩子拉力的合力提供M 所需要的向心力．根據(jù)牛頓第二定律分別求出ω的最小值和最大值，即可得到ω的取值范圍．

解答 解：（1）物體A與圓盤保持相對(duì)靜止且不受摩擦力時(shí)，繩子的拉力提供向心力，由牛頓第二定律得：
mg=${Mω}_{0}^{2}r$
帶入數(shù)據(jù)得：ω₀=4rad/s
（2）設(shè)此平面角速度ω的最小值為ω₁，此時(shí)M所受的靜摩擦力達(dá)到最大，方向沿半徑向外，則由牛頓第二定律得：
$T-{f}_{max}={mω}_{1}^{2}r$，
又T=mg
聯(lián)立得：mg-f_max=M${ω}_{1}^{2}$r，
代入數(shù)據(jù)解得：ω₁=2rad/s
設(shè)此平面角速度ω的最大值為ω₂，此時(shí)M所受的靜摩擦力達(dá)到最大，方向沿半徑向里，則由牛頓第二定律得：
T+f_max=M${ω}_{2}^{2}$r，
又T=mg
代入解得：ω₂=$2\sqrt{7}$rad/s
故為使m處于靜止?fàn)顟B(tài)，角速度ω的何值范圍為：2rad/s≤ω≤$2\sqrt{7}$rad/s．
答：（1）物體A與圓盤保持相對(duì)靜止且不受摩擦力時(shí)，平臺(tái)的角速度是4rad/s；
（2）為使物體A與圓盤相對(duì)靜止，圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的大小范圍為2rad/s≤ω≤$2\sqrt{7}$rad/s．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓周運(yùn)動(dòng)中臨界問題，抓住當(dāng)M恰好相對(duì)此平面滑動(dòng)時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大，由牛頓第二定律求解角速度的取值范圍．