Question

6．某同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖所示的趣味實(shí)驗(yàn)來(lái)研究碰撞問(wèn)題，用材料和長(zhǎng)度相同的不可伸長(zhǎng)的輕繩依次將N個(gè)大小相同、質(zhì)量不等的小球懸掛于水平天花板下方，且相鄰的小球靜止時(shí)彼此接觸但無(wú)相互作用力，小球編號(hào)從左到右依次為1、2、3、…、N，每個(gè)小球的質(zhì)量為其相鄰左邊小球質(zhì)量的k倍（k＜1）．在第N個(gè)小球右側(cè)放置一傾角α=37°的斜面，斜面左側(cè)靠近第N個(gè)小球處有一光滑平臺(tái)，平臺(tái)上放置一小球P，小球P的質(zhì)量與第N個(gè)小球的質(zhì)量相等，所有小球的球心等高．現(xiàn)將1號(hào)小球由最低點(diǎn)向左拉起高度h，保持繩繃緊狀態(tài)由靜止釋放1號(hào)小球，使其與2號(hào)小球碰撞，2號(hào)小球再與3號(hào)小球碰撞…．所有碰撞均為在同一直線上的正碰且無(wú)機(jī)械能損失．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8；重力加速度為g，空氣阻力、小球每次碰撞時(shí)間均可忽略不計(jì)．
（1）求1號(hào)小球與2號(hào)小球碰撞之前的速度v₁大�。�
（2）求P小球離開(kāi)光滑平臺(tái)時(shí)的速度v_P的大�。�
（3）若N=5，且發(fā)現(xiàn)P小球離開(kāi)平臺(tái)后第一次落于斜面上與P點(diǎn)豎直高度差為H=$\frac{64}{9}$h的Q點(diǎn)，求k的值．

Answer 1

分析 1、對(duì)于1號(hào)小球由h高運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒求出碰前的速度
2、對(duì)于1、2號(hào)小球碰撞的過(guò)程根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒列出等式，對(duì)于2、3號(hào)小球碰撞的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒求解
3、因?yàn)?號(hào)小球與P小球質(zhì)量相等，可知二者發(fā)生碰撞后交換速度，P球此后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式列式即可求解．

解答 解：（1）設(shè)1號(hào)小球的質(zhì)量為m₁，碰前的速度為v₁，
對(duì)于1號(hào)小球由h高運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒
${m}_{1}gh=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{2gh}$
（2）設(shè)1號(hào)、2號(hào)小球碰撞后的速度分別為v₁′和v₂，取水平向右為正方向．
對(duì)于1、2號(hào)小球碰撞的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有
m₁v₁=m₁v'₁+m₂v₂
根據(jù)機(jī)械能守恒有 $\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}{′}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}$
解得：${v}_{2}=\frac{2}{1+k}\sqrt{2gh}$
設(shè)2號(hào)、3號(hào)小球碰撞后的速度分別為v₂′和v₃，
對(duì)于2、3號(hào)小球碰撞的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有 m₂v₂=m₂v'₂+m₃v₃
根據(jù)機(jī)械能守恒有 $\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}{′}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{3}{{v}_{3}}^{2}$
同理可解得：3號(hào)小球被碰后的速度 ${v}_{3}=（\frac{2}{1+k}）^{2}\sqrt{2gh}$
則第N個(gè)球與P碰撞前的速度${v}_{N}={（\frac{2}{1+k}）}^{N-1}\sqrt{2gh}$，
而小球P的質(zhì)量與第N個(gè)小球的質(zhì)量相等，且發(fā)生正碰，速度交換，則P小球離開(kāi)光滑平臺(tái)時(shí)的速度v_P=${v}_{N}={（\frac{2}{1+k}）}^{N-1}\sqrt{2gh}$
 （3）由（2）中的結(jié)果可推知5號(hào)小球被碰后的速度 ${v}_{5}={（\frac{2}{1+k}）}^{4}\sqrt{2gh}$
因?yàn)?號(hào)小球與P小球質(zhì)量相等，可知二者發(fā)生碰撞后交換速度，
所以P小球第一次被碰撞后的速度 ${v}_{P}={（\frac{2}{1+k}）}^{4}\sqrt{2gh}$
P球此后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
$\frac{H}{tan37°}={v}_{P}t$，
解得：$k=\sqrt{3}-1$
答：（1）1號(hào)小球與2號(hào)小球碰撞之前的速度v₁大小為$\sqrt{2gh}$；
（2）求P小球離開(kāi)光滑平臺(tái)時(shí)的速度v_P的大小為${（\frac{2}{1+k}）}^{N-1}\sqrt{2gh}$；
（3）若N=5，且發(fā)現(xiàn)P小球離開(kāi)平臺(tái)后第一次落于斜面上與P點(diǎn)豎直高度差為H=$\frac{64}{9}$h的Q點(diǎn)，k的值為$\sqrt{3}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題是利用動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒聯(lián)合解決一維碰撞問(wèn)題的典型例子，其中由1號(hào)球的速度歸納第n+1號(hào)球的速度是關(guān)鍵，而且也是難點(diǎn)．