Question

6．如圖所示，長為L=2.5m的輕繩一端系著重為G=30N的小球，另一端固定在半徑為R=2.8m的水平轉(zhuǎn)盤邊緣，轉(zhuǎn)盤離水平地面的高度為H=4.7m，可繞穿過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動．當(dāng)轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)時，繩與轉(zhuǎn)軸在同一豎直平面內(nèi)．（g=10m/s²）
（1）當(dāng)繩與豎直方向的夾角為θ時，求轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度ω的表達(dá)式；
（2）已知繩能夠承受的最大拉力為50N，若轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度ω緩慢增大，某時刻將使繩斷裂，求繩斷裂后落在水平地面的落點(diǎn)離轉(zhuǎn)軸的距離．

Answer 1

分析 （1）對球受力分析，求得球受到的合力的大小，根據(jù)向心力的公式可以求得角速度ω與夾角θ的關(guān)系式．
（2）繩斷裂時繩的拉力達(dá)到最大值50N，由力的合成法求出此時繩與豎直方向的夾角，由牛頓第二定律求出球的速度．繩斷裂后球做平拋運(yùn)動，由平拋運(yùn)動的規(guī)律和幾何關(guān)系解答．

解答 解：（1）球的軌道半徑為：r=R+Lsinθ…①
對球受力分析，由牛頓第二定律有：
mgtanθ=mrω²…②
由①②兩式聯(lián)立得：ω=$\sqrt{\frac{gtanθ}{R+Lsinθ}}$
（2）繩剛斷裂時，設(shè)繩與豎直方向的夾角為α，則有：
cosα=$\frac{G}{F}$=$\frac{30}{50}$=0.6，α=53°
設(shè)此時球的速度為v，則有：
Fsinα=m$\frac{{v}^{2}}{R+Lsinα}$
代入解得：v=2$\sqrt{10}$m/s
繩斷裂后球做平拋運(yùn)動，下落高度為：
h=H-Lcosα=4.7-2.5×0.6=3.2m
由 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=0.8s
平拋運(yùn)動的水平位移大小為：
x=vt=1.6$\sqrt{10}$m
故繩斷裂后落在水平地面的落點(diǎn)離轉(zhuǎn)軸的距離為：
s=$\sqrt{（R+Lsinα）^{2}+{x}^{2}}$
解得：s=$\sqrt{34.6}$m≈5.88m
答：（1）轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度ω的表達(dá)式是ω=$\sqrt{\frac{gtanθ}{R+Lsinθ}}$；
（2）繩斷裂后落在水平地面的落點(diǎn)離轉(zhuǎn)軸的距離是5.88m．

點(diǎn)評 小球做的是圓周運(yùn)動，確定圓周運(yùn)動所需要的向心力是解題的關(guān)鍵．本題還要有空間想象能力，結(jié)合數(shù)學(xué)知識分析物理物理問題．