Question

2．如圖甲所示，在變長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形abcd區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的左側(cè)有一電子槍，電子槍的陰極在單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的電子數(shù)相同，電子槍的兩極間加圖乙所示的加速電壓，電子從電子槍射出后沿bc方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，已知電子的荷質(zhì)比（比荷）為$\frac{e}{m}$，電子運(yùn)動(dòng)中不受任何阻力，電子在電子槍中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間忽略不計(jì)，求：

（1）進(jìn)入磁場(chǎng)的電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t₁與最短時(shí)間t₂的比值；
（2）若在0-T₀時(shí)間內(nèi)射入磁場(chǎng)的電子數(shù)為N₀，則這些電子中有多少個(gè)電子從dc邊射出磁場(chǎng)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子的最大速度，結(jié)合半徑公式求出最大半徑，從而通過幾何關(guān)系求出圓心角的最小值和最大值，根據(jù)周期公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比．
（2）抓住粒子從dc邊離開的臨界狀態(tài)，結(jié)合半徑公式和動(dòng)能定理求出電壓的范圍，從而得出電子從dc邊射出的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的最大速度為v_m，根據(jù)動(dòng)能定理得，$e•\frac{2{B}^{2}{L}^{2}e}{m}=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}$，
解得最大速度${v}_{m}=\frac{2BLe}{m}$，
則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大軌道半徑${r}_{m}=\frac{m{v}_{m}}{eB}=2L$．
此時(shí)對(duì)應(yīng)的圓心角最小，根據(jù)幾何關(guān)系得，圓心角θ₁=$\frac{π}{6}$，此時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，最短時(shí)間${t}_{2}=\frac{{θ}_{1}}{2π}T=\frac{T}{12}$，
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大圓心角為π，則最長(zhǎng)時(shí)間${t}_{1}=\frac{1}{2}T$，
可知t₁：t₂=6：1．

（2）粒子從d點(diǎn)射出時(shí)，軌道半徑為r=L，
根據(jù)$r=\frac{mv}{eB}$知，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v=$\frac{eBr}{m}$=$\frac{eBL}{m}$，
根據(jù)動(dòng)能定理得，$eU′=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得U′=$\frac{e{B}^{2}{L}^{2}}{2m}$，
可知電壓范圍為$\frac{e{B}^{2}{L}^{2}}{2m}≤U≤\frac{2{B}^{2}{L}^{2}e}{m}$，電子從dc邊射出磁場(chǎng)，
由圖象可知在$\frac{{T}_{0}}{4}≤t≤{T}_{0}$時(shí)間內(nèi)的電子從dc邊射出磁場(chǎng)，粒子的個(gè)數(shù)n=$\frac{3}{4}{N}_{0}$．
答：（1）進(jìn)入磁場(chǎng)的電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t₁與最短時(shí)間t₂的比值為6：1；
（2）這些電子中有$\frac{3}{4}{N}_{0}$個(gè)電子從dc邊射出磁場(chǎng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)中的加速和在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，對(duì)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵作出軌跡圖，結(jié)合臨界情況得出半徑的臨界值，結(jié)合半徑公式和周期公式進(jìn)行求解．