Question

10．如圖所示，圓形區(qū)域的勻強磁場垂直xoy平面向外，該圓形區(qū)域的圓心為O₁，半徑為R，并與x軸相切于原點O．現(xiàn)從離子源發(fā)出比荷為k（即電荷量與質(zhì)量的比值）的正離子，沿直徑O₂O₃射入，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后從O點垂直進(jìn)入x軸下方的勻強電場，該電場的場強為E，方向沿x軸正方向，最后打在位于檔板的o₄位置的離子探測器上．不計粒子所受重力．已知O₄點坐標(biāo)為（2R，-R），且O₁，O₂，O₃，O₄在一條直線上．求：
（1）離子射入磁場時的速度v
（2）圓形區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強度B
（已知tan$\frac{α}{2}$=$\frac{sinα}{1+cosα}$）

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，運用運動的分解法：沿y軸負(fù)方向做勻減速運動，x軸方向做勻速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式結(jié)合求出粒子進(jìn)入電場時速度．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，畫出其運動軌跡，由幾何知識求出軌跡半徑，再求出磁感應(yīng)強度．

解答 解：（1）粒子在電場中做類平拋運動，沿y軸負(fù)方向做勻減速運動，位移為R=vt
x軸方向：2R=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
$a=\frac{qE}{m}=kE$
解得：v=$\frac{1}{2}\sqrt{kER}$；
（2）由題意，已知圓的半徑是R，O₄點坐標(biāo)為（2R，-R），且O₁，O₂，O₃，O₄在一條直線上，所以O(shè)₂O₃與y軸之間的夾角是45°，粒子在磁場中的運動軌跡如圖所示，
粒子偏轉(zhuǎn)的角度是45°，其軌跡圓弧對應(yīng)的圓心角是45°，所以：$\frac{R}{r}=tan\frac{45°}{2}$=$\frac{sin45°}{1+cos45°}=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$
所以：$r=（1+\sqrt{2}）R$
帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，所以：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：B=$\frac{mv}{qr}$=$\frac{\frac{1}{2}\sqrt{kER}}{k（1+\sqrt{2}）R}$=$\frac{1}{2+2\sqrt{2}}•\sqrt{\frac{E}{kR}}$．
答：（1）離子射入磁場時的速度是$\frac{1}{2}\sqrt{kER}$；
（2）圓形區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強度是$\frac{1}{2+2\sqrt{2}}•\sqrt{\frac{E}{kR}}$．

點評 帶電粒子在組合場中的運動問題，首先要運用動力學(xué)方法分析清楚粒子的運動情況，再選擇合適方法處理．對于勻變速曲線運動，常常運用運動的分解法，將其分解為兩個直線的合成，由牛頓第二定律和運動學(xué)公式結(jié)合求解；對于磁場中圓周運動，要正確畫出軌跡，由幾何知識求解半徑．