Question

18．光滑的平行金屬導(dǎo)軌水平放置，電阻不計(jì)，導(dǎo)軌間距為l=1m，左側(cè)接R=0.3Ω的電阻．區(qū)域cdef內(nèi)存在垂直軌道平面向下的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，磁場(chǎng)寬度為s=1.5m．一質(zhì)量m=1kg，電阻r=0.2Ω的金屬棒MN置于導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直且接觸良好．金屬棒受到水平力F的作用，從磁場(chǎng)的左邊界由靜止開始做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度a=0.5m/s²．

（1）求水平力F與速度v的關(guān)系；
（2）若在金屬棒未出磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)撤去外力，此后棒的速度v隨位移x的變化規(guī)律滿足v=v₀-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}}{m（R+r）}$x，且棒運(yùn)動(dòng)到ef處時(shí)恰好靜止．
①通過(guò)計(jì)算證明金屬棒在撤去外力后的過(guò)程滿足動(dòng)能定理．
②畫出金屬棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度隨位移的變化所對(duì)應(yīng)的圖線（要求有解析過(guò)程，并在坐標(biāo)軸上標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、歐姆定律得到電阻R兩端的電壓與金屬棒速度v的關(guān)系式，根據(jù)速度均勻增大，求出棒的加速度，并解得B．
（2）①?gòu)倪@角度去分析證明：安培力做功等于動(dòng)能的該變量
②求出加速階段的末速度和位移，作出棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度v隨位移x變化的圖線．

解答 解：（1）金屬棒受到水平力F的作用，從磁場(chǎng)的左邊界由靜止開始做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
F-BIl=ma
而I=$\frac{E}{R+r}$，E=Blv
故有：F=$\frac{{{B}^{2}l}^{2}v}{R+r}$+ma=$\frac{{1}^{2}{×1}^{2}×v}{0.3+0.2}+1×0.5$=（2v+0.5）N；

（2）①棒的速度v隨位移x的變化規(guī)律滿足v=v₀-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}}{m（R+r）}$x，故減速過(guò)程的位移為：x′=$\frac{{mv}_{0}}{\frac{{{B}^{2}{l}^{2}}}{（R+r）}}$
由于安培力F=BIl=$\frac{{{B}^{2}l}^{2}v}{（R+r）}$，故F與速度v成正比，而v=v₀-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}}{m（R+r）}$x，故F與x也成線性關(guān)系，故在減速階段的全程有安培力做功：
W=-$\frac{1}{2}$Fx′=-$\frac{1}{2}$BIlx′=-$\frac{1}{2}$×$\frac{{{B}^{2}{l}^{2}v}}{（R+r）}$x′=-$\frac{1}{2}$${mv}_{0}^{2}$，
故金屬棒在撤去外力后的過(guò)程滿足動(dòng)能定理．

②減速階段的初速度v₀，就是加速階段的末速度v．
加速階段的位移：x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$，
減速過(guò)程的位移為：x′=$\frac{{mv}_{0}}{\frac{{{B}^{2}l}^{2}}{（R+r）}}$
并且有：x+x′=s
代入數(shù)據(jù)得：x=1m，v=1m/s．
圖線如下：

答：（1）求水平力F與速度v的關(guān)系為f=2v+0.5；
（2）圖線為：
．

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)物理規(guī)律找出物理量的關(guān)系，通過(guò)已知量得出未知量．要善于對(duì)物體過(guò)程分析和進(jìn)行受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解決問(wèn)題