Question

5．宇航員在月球表面附近自高度h處以初速度v₀水平拋出一個小球，測出小球的水平射程為L，已知月球半徑為R，萬有引力常量為G．求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）月球的質(zhì)量M；
（3）月球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 宇航員在月球上自高h處以初速度v₀水平拋出一物體，測出物體的水平射程為L，根據(jù)水平射程和初速度求出運動的時間，根據(jù)h=$\frac{1}{2}$gt²求出月球表面的重力加速度大��；由g=$\frac{GM}{{r}^{2}}$求得月球的質(zhì)量；根據(jù)重力提供向心力求出衛(wèi)星的第一宇宙速度．

解答 解：（1）小球做平拋運動，根據(jù)分位移公式，有：
L=v₀t
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
聯(lián)立解得：
g=$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$
（2）在月球表面，重力等于萬有引力，故：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：
M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}$
（3）第一宇宙速度是月表表面衛(wèi)星的環(huán)繞速度，故：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：
v₁=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}^{2}}•R}$=$\sqrt{\frac{2h{v}_{0}^{2}R}{{L}^{2}}}$=$\frac{{v}_{0}}{L}\sqrt{2hR}$
答：（1）月球表面的重力加速度g為$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$；
（2）月球的質(zhì)量M為$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}$；
（3）月球的第一宇宙速度為$\frac{{v}_{0}}{L}\sqrt{2hR}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運動在水平方向上和豎直方向上的運動規(guī)律，以及掌握萬有引力提供向心力以及萬有引力等于重力這兩個理論的運用．