Question

18．如圖所示，AB是傾角為θ的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點與圓弧相切，圓弧的半徑為R．一個質(zhì)量為m的物體（可以看作質(zhì)點）從直軌道上的P點由靜止釋放，結(jié)果它能在兩軌道間做往返運動．已知P點與圓弧的圓心O等高，物體與軌道AB間的動摩擦因數(shù)為μ．求：
（1）物體做往返運動的整個過程中在AB軌道上通過的總路程s；
（2）最終當(dāng)物體通過圓弧軌道最低點E時，對圓弧軌道的壓力的大�。�
（3）為使物體能順利到達(dá)圓弧軌道的最高點D（E、O、D為同一條豎直直徑上的3個點），釋放點距B點的距離L應(yīng)滿足什么條件．

Answer 1

分析 ①對整個過程做好受力分析，利用動能定理求摩擦力做的功；
②對BE過程由動能定理可求得C點的速度，再對圓周運動條件的分析和應(yīng)用；由向心力公式求解支持力；再由牛頓第三定律求解壓力；
③根據(jù)圓周運動中能過最高點的條件明確物體的速度，再對全程由動能定理定式求解即可．

解答 解：（1）因為摩擦始終對物體做負(fù)功，所以物體最終在圓心角為2θ的圓弧上往復(fù)運動．
對整體過程由動能定理得
mgR•cosθ-μmgcosθ•x=0
所以總路程為x=$\frac{R}{μ}$．
（2）對B→E過程，由動能定理得
mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_E^{2-------------------}①
F_N-mg=m$\frac{{V}_{E}^{2}}{R}$------------------②
由①②得對軌道壓力：F_N=（3-2cosθ）mg．
（3）設(shè)物體剛好到D點，則由向心力公式得
mg=m$\frac{{V}_{D}^{2}}{R}$------------------③
對全過程由動能定理得
mgL′sinθ-μmgcosθ•L′-mgR（1+cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_D^{2-----------------------}④
由③④得最少距離L′=$\frac{3+2cosθ}{2sinθ-2μcosθ}$•R．
答：（1）在AB軌道上通過的總路程為x=$\frac{R}{μ}$．
（2）對圓弧軌道的壓力為（3-2cosθ）mg
（3）釋放點距B點的距離L′至少為$\frac{3+2cosθ}{2sinθ-2μcosθ}$•R．

點評 本題綜合應(yīng)用了動能定理求摩擦力做的功、圓周運動及圓周運動中能過最高點的條件，對動能定理、圓周運動部分的內(nèi)容考查的較全，是圓周運動部分的一個好題．