Question

2．如圖所示，ABC為一個(gè)豎直固定的半徑為R的四分之三圓環(huán)管道，管道內(nèi)壁光滑，內(nèi)徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于圓環(huán)半徑，計(jì)算中可以忽略，DE是一個(gè)光滑的水平桌面．質(zhì)量為m的小球直徑略小于管道內(nèi)徑，通過(guò)一根穿過(guò)管道的輕線連接一質(zhì)量為3m的物塊．初開(kāi)始物塊在桌面上位于C點(diǎn)正下方的P點(diǎn)，小球在管道最低點(diǎn)A處，線處于張緊狀態(tài)，測(cè)得線的總長(zhǎng)度為L(zhǎng)=$\frac{5}{2}$πR，現(xiàn)在突然給物塊一個(gè)水平向左的初速度，物塊將向左運(yùn)動(dòng)而帶動(dòng)小球上升，當(dāng)小球到達(dá)最高點(diǎn)B時(shí)，管道的外壁對(duì)小球有一個(gè)向內(nèi)的大小為N=3mg的彈力． 
（1）小球在最高點(diǎn)的速度v₁=？
（2）在小球上升到最高點(diǎn)的過(guò)程中，線的拉力對(duì)小球做了多少功？
（3）物塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的初速度v₀=？

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求解；
（2）對(duì)小球上升到最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理求解；
（3）由速度的合成根據(jù)小球的速度求得物塊的速度，然后對(duì)系統(tǒng)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用機(jī)械能守恒求解．

解答 解：（1）當(dāng)小球到達(dá)最高點(diǎn)B時(shí)，管道的外壁對(duì)小球有一個(gè)向內(nèi)的大小為N=3mg的彈力，對(duì)小球應(yīng)用牛頓第二定律可得：
$N+mg=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}=2\sqrt{gR}$；
（2）在小球上升到最高點(diǎn)的過(guò)程中，只有重力和繩子拉力做功，故有動(dòng)能定理可得：線的拉力對(duì)小球做的功W有：
$W-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-0=2mgR$；
解得：W=4mgR；
（3）線的總長(zhǎng)度為L(zhǎng)=$\frac{5}{2}$πR，故C點(diǎn)的高度為πR，當(dāng)小球到最高點(diǎn)時(shí)，物塊到C的距離為2πR，那么，繩子與豎直方向的夾角為60°，所以，物塊的速度為：
$v=\frac{{v}_{1}}{sin60°}=\frac{4}{3}\sqrt{3gR}$；
物塊和小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程沒(méi)有外力做功，機(jī)械能守恒，故有：
$\frac{1}{2}•3m•{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}•3m•{v}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+2mgR$=8mgR+2mgR+2mgR=12mgR；
解得：${v}_{0}=2\sqrt{2gR}$；
答：（1）小球在最高點(diǎn)的速度v₁=$2\sqrt{gR}$；
（2）在小球上升到最高點(diǎn)的過(guò)程中，線的拉力對(duì)小球做了4mgR的功；
（3）物塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的初速度v₀=$2\sqrt{2gR}$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．