Question

7．如圖所示，光滑弧形軌道的下端與光滑豎直圓軌道相接，使小球從弧形軌道上端滾下，小球進(jìn)入圓軌道下端后沿圓軌道運動．觀察發(fā)現(xiàn)，只要h大于一定的值，小球就可以順利通過圓軌道的最高點．
（1）若已知軌道半徑為R，h至少要等于多大小球可以順利通過圓軌道最高點．
（2）若h為某一足夠大的值（h、R未知），質(zhì)量為m小球通過豎直圓軌道最高點時軌道對小球的支持力為F₁，通過豎直圓軌道最低點時軌道對小球的支持力F₂，求F₂-F₁等于多少？

Answer 1

分析 （1）對小球在圓軌道最高點應(yīng)用牛頓第二定律求得速度范圍，然后由機械能守恒求得h范圍，即可求得最小值；
（2）對小球在最低點、最高點分別應(yīng)用牛頓第二定律求得支持力的表達(dá)式，然后根據(jù)小球在圓軌道上運動機械能守恒求解．

解答 解：（1）小球要能通過圓軌道最高點，那么在最高點由牛頓第二定律可得：$mg≤\frac{m{v}^{2}}{R}$；
小球從靜止運動到圓軌道最高點的過程只有重力做功，故機械能守恒，則有：$mgh=2mgR+\frac{1}{2}m{v}^{2}≥\frac{5}{2}mgR$，所以，$h≥\frac{5}{2}R$；
（2）設(shè)小球在最高點的速度為v₁，那么，由牛頓第二定律可得：${F}_{1}+mg=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}$；
設(shè)小球在最低點的速度為v₂，那么，由牛頓第二定律可得：${F}_{2}-mg=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{R}$；
小球從最低點運動到最高點只有重力做功，機械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+2mgR$；
所以，${F}_{2}-{F}_{1}=2mg+\frac{m（{{v}_{2}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}）}{R}$=$2mg+\frac{4mgR}{R}=6mg$；
答：（1）若已知軌道半徑為R，h至少要等于$\frac{5}{2}R$小球可以順利通過圓軌道最高點；
（2）若h為某一足夠大的值（h、R未知），質(zhì)量為m小球通過豎直圓軌道最高點時軌道對小球的支持力為F₁，通過豎直圓軌道最低點時軌道對小球的支持力F₂，求F₂-F₁等于6mg．

點評 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關(guān)系求解．