Question

4．如圖所示，一傳送帶由水平和傾斜兩部分平滑連接而成，水平部分距離地面的高度h=1m，長(zhǎng)為L(zhǎng)₁=3m，傾斜部分的傾角θ=37°，長(zhǎng)為L(zhǎng)₂=3.2m，傳送帶的速度v=2m/s，方向如圖中箭頭所示，現(xiàn)在將一個(gè)小煤塊輕放在傳送帶的A端，已知煤塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，求：（g取10m/s²）
（1）煤塊到達(dá)B點(diǎn)的速度；
（2）煤塊落地點(diǎn)與C點(diǎn)的水平距離s（忽略傳送帶轉(zhuǎn)輪的大小）；
（3）整個(gè)過(guò)程中煤塊在傳送帶上留下的痕跡有多長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）小煤塊先沿傳送帶勻加速下滑，利用牛頓第二定律求出加速度，由速度位移公式求出從開(kāi)始到小煤塊能與傳送帶達(dá)到共同速度所通過(guò)的位移，判斷出共速之后小煤塊的運(yùn)動(dòng)情況，再由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解煤塊到達(dá)B點(diǎn)的速度．
（2）小煤塊過(guò)B點(diǎn)后開(kāi)始減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出煤塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度．煤塊離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，再由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求煤塊落地點(diǎn)與C點(diǎn)的水平距離s．
（3）整個(gè)過(guò)程中煤塊在傳送帶上留下的痕跡長(zhǎng)度等于煤塊與傳送帶相對(duì)位移的大小，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分段求解．

解答 解：（1）小煤塊剛放到傳送帶上時(shí)，由牛頓第二定律得：
  mgsinθ+μmgcosθ=ma₁；
代入數(shù)據(jù)得：a₁=10m/s²．
因?yàn)閤₁=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=0.2m＜L₂，所以小煤塊能與傳送帶達(dá)到共同速度．     
此后，由于μ＜tanθ，小煤塊繼續(xù)做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
  mgsinθ-μmgcosθ=ma₂；
代入數(shù)據(jù)得：a₂=2m/s²．
位移 x₂=L₂-x₁=3m
由${v}_{B}^{2}-{v}_{\;}^{2}$=2a₂x₂．                             
代入數(shù)據(jù)得：v_B=4m/s                          
（2）小煤塊過(guò)B點(diǎn)后開(kāi)始減速運(yùn)動(dòng)：
-μmg=ma₃；得 a₃=-5m/s²．
勻減速過(guò)程的位移：x₃=$\frac{{v}^{2}-{v}_{3}^{2}}{2{a}_{3}}$=1.2m＜L₁                  
所以小煤塊減速運(yùn)動(dòng)1.2m后與傳送帶一起勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C點(diǎn)后平拋，初速度為v，則
  h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  s=vt                    
代入數(shù)據(jù)得：s=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m
（3）①小煤塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與傳送帶共速過(guò)程用時(shí)：
 t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=0.2s
傳送帶的位移：x₁′=vt₁=0.4m
小煤塊相對(duì)于傳送帶的位移：△x₁=x₁-x₁′=-0.2m                
②小煤塊從共速運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程：
  t₂=$\frac{v-{v}_{B}}{{a}_{2}}$=1s
傳送帶的位移：x₂′=vt₂=2m
小煤塊相對(duì)于傳送帶的位移：△x₂=x₂-x₂′=1m                 
③小煤塊從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與傳送帶再次共速的過(guò)程：
  t₃=$\frac{v-{v}_{B}}{{a}_{3}}$=0.4s
傳送帶的位移：x₃′=vt₃=0.8m
小煤塊相對(duì)于傳送帶的位移：△x₃=x₃-x₃′=0.4m                     
綜上，整個(gè)過(guò)程中煤塊在傳送帶上留下的痕跡 l=△x₂+△x₃=1.4m
答：（1）煤塊到達(dá)B點(diǎn)的速度是4m/s；
（2）煤塊落地點(diǎn)與C點(diǎn)的水平距離s是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m；
（3）整個(gè)過(guò)程中煤塊在傳送帶上留下的痕跡有1.4m長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵分析物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式聯(lián)立列式求解，要注意研究煤塊與傳送帶速度相同這個(gè)臨界狀態(tài)，分析此狀態(tài)后煤塊的運(yùn)動(dòng)情況．