Question

9．如圖所示，MN為豎直放置的光屏，光屏的左側有半徑為R、折射率為$\sqrt{3}$的透明半球體，O為球心，軸線OA垂直于光屏，O至光屏的距離OA=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$R．一細束單色光垂直射向半球體的平面，在平面的入射點為B，OB=$\frac{1}{2}$R求：
（1）光線從透明半球體射出時，出射光線偏離原方向的角度．
（2）光線在光屏形成的光斑到A點的距離．

Answer 1

分析 （1）根據數學上正弦定理和折射定律分別列式，得到∠BOA，即可求得出射光線偏離原方向的角度．
（2）光線在光屏形成的光斑到A點的距離．

解答 解：（1）分析如圖．設入射點B到O的垂直距離BO=h，∠BCO=β，折射角為i．

對△OBC，由正弦公式得：$sinβ=\frac{h}{R}=\frac{1}{2}$
又$n=\frac{sini}{sinβ}=\sqrt{3}$
聯立解得  $sini=\sqrt{3}sinβ=\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以：i=60°
出射光線偏離原方向的角度：△θ=i-β=60°-30°=30°
（2）設出射光線與MN交與P點，與OA交與D點，則由幾何關系可得，∠CDQ=30°
所以：$OQ=QD=Rcos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
$AD=AO-OD=\frac{3\sqrt{3}}{2}R-2×\frac{\sqrt{3}}{2}R=0.5\sqrt{3}R$
所以：$PA=AD•tan30°=0.5\sqrt{3}R×\frac{\sqrt{3}}{3}$=0.5R
答：（1）光線從透明半球體射出時，出射光線偏離原方向的角度是30°．
（2）光線在光屏形成的光斑到A點的距離是0.5R．

點評 解決本題的關鍵作出光路圖，靈活運用數學知識，結合折射定律進行求解．