Question

18．如圖所示，一對(duì)光滑的平行金屬導(dǎo)軌固定在同一水平面內(nèi)，導(dǎo)軌間距L=0.5m，左端接有阻值R=0.3Ω的電阻，一質(zhì)量m=0.1kg，電阻r=0.1Ω的金屬棒MN放置在導(dǎo)軌上，整個(gè)裝置置于豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T，棒在水平向右的外力作用下，由靜止開始以a=2m/s²的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)棒的位移x=9m時(shí)撤去外力，棒繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段距離后停下來，已知撤去外力前后回路中產(chǎn)生的焦耳熱之比Q₁：Q₂=1：2，導(dǎo)軌足夠長且電阻不計(jì)，棒在運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌垂直且兩端與導(dǎo)軌保持良好接觸，求：
（1）棒在勻加速運(yùn)動(dòng)過程中，通過電阻R的電荷量q；
（2）金屬棒MN做勻加速直線運(yùn)動(dòng)所需外力隨時(shí)間變化的表達(dá)式；
（3）外力做的功W_F．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電荷量的計(jì)算公式q=It結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律聯(lián)立求解電荷量；
（2）由安培力公式和牛頓第二定律得F-BIl=ma結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律求解；
（3）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得v²=2ax求解速度，拉力去掉以后由動(dòng)能定理列方程求解產(chǎn)生的焦耳熱，由功能關(guān)系可知W_F=Q₁+Q₂，由此求解外力做的功W_F．

解答 解：（1）棒在勻加速運(yùn)動(dòng)中，由法拉第電磁感應(yīng)定律得$\overline E=\frac{△ϕ}{△t}$
其中△ϕ=Blx
由閉合電路的歐姆定律得$\overline I=\frac{\overline E}{R+r}$
則通過電阻R的電荷量為$q=\overline I•△t$
聯(lián)立各式，代入數(shù)據(jù)得q=2.25C；
（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律得E=Blv
對(duì)棒的勻加速運(yùn)動(dòng)過程，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得v=at
由閉合電路的歐姆定律得$I=\frac{E}{R+r}$
由安培力公式和牛頓第二定律得F-BIl=ma
得F=0.2+0.05t；
（3）對(duì)棒的勻加速運(yùn)動(dòng)過程，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得v²=2ax
撤去外力后，由動(dòng)能定理得$W=0-\frac{1}{2}m{v^2}$
撤去外力后回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q₂=-W
聯(lián)立解得Q₂=1.8J
由題意知，撤去外力前后回路中產(chǎn)生的焦耳熱之比Q₁：Q₂=1：2，可得Q₁=0.9J
在棒運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，由功能關(guān)系可知W_F=Q₁+Q₂
解得W_F=2.7J．
答：（1）棒在勻加速運(yùn)動(dòng)過程中，通過電阻R的電荷量為2.25C；
（2）金屬棒MN做勻加速直線運(yùn)動(dòng)所需外力隨時(shí)間變化的表達(dá)式為F=0.2+0.05t；
（3）外力做的功為2.7J．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．