Question

8．如圖所示，傳送帶與地面傾角θ=37°，從A到B長(zhǎng)度為16m，傳送帶以10m/s的速度轉(zhuǎn)動(dòng)．在傳送帶上端A處由靜止放一個(gè)質(zhì)量為2kg的小煤塊，它與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5．（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10m/s²）則當(dāng)皮帶輪處于下列情況時(shí)，
（1）皮帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求煤塊從A運(yùn)動(dòng)到B所用時(shí)間；
（2）皮帶逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求煤塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（3）皮帶逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，煤塊在傳送帶上留下的痕跡長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）輪子沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，傳送帶作用于小物體的摩擦力沿傳送帶向上，根據(jù)牛頓第二定律求出物體的加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出速度達(dá)到傳送帶速度時(shí)的時(shí)間和位移，由于重力沿斜面方向的分力大于滑動(dòng)摩擦力，速度相等后，滑動(dòng)摩擦力沿斜面向上，結(jié)合位移時(shí)間公式求出剩余段勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而得出物體從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間；
（2）物體剛放上傳送帶，摩擦力的方向沿傳送帶向下，根據(jù)牛頓第二定律求出物體的加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出速度達(dá)到傳送帶速度時(shí)的時(shí)間和位移，由于重力沿斜面方向的分力大于滑動(dòng)摩擦力，速度相等后，滑動(dòng)摩擦力沿斜面向上，根據(jù)牛頓第二定律求出物體的加速度，結(jié)合位移時(shí)間公式求出剩余段勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)速度時(shí)間公式求出煤塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（3）第一階段炭塊的速度小于皮帶速度，炭塊相對(duì)皮帶向上移動(dòng)；第二階段，炭塊的速度大于皮帶速度，炭塊相對(duì)皮帶向下移動(dòng)；根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解相對(duì)位移．

解答 解：（1）輪子沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，傳送帶作用于小物體的摩擦力沿傳送帶向上，物體的受力情況如圖所示．

物體由靜止加速，由牛頓第二定律可得
mgsin θ-μmgcos θ=ma₁
解得：a₁=2 m/s²，由于mgsinθ＞μmgcosθ，物體受滑動(dòng)摩擦力一直向上，
則物體從A端運(yùn)動(dòng)到B端的時(shí)間t=$\sqrt{\frac{2L}{{a}_{1}}}=\sqrt{\frac{2×16}{2}}$=4s．
（2）皮帶沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，傳送帶作用于小物體的摩擦力沿傳送帶向下，物體的受力情況如圖所示．

物體由靜止加速，由牛頓第二定律得
mgsin θ+μmgcos θ=ma₂
解得：a₂=10 m/s²
物體加速到與傳送帶速度相同需要的時(shí)間為
t₁=$\frac{v}{{a}_{2}}=\frac{10}{10}$s=1 s
物體加速到與傳送帶速度相同時(shí)發(fā)生的位移為
s=$\frac{1}{2}$a₂t₁²=$\frac{1}{2}$×10×1² m=5 m
由于μ＜tan θ（μ=0.5，tan θ=0.75），物體在重力作用下將繼續(xù)加速運(yùn)動(dòng)，物體的速度大于傳送帶的速度，傳送帶給物體的摩擦力沿傳送帶向上，物體加速度為a₃=$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}$=2 m/s²
設(shè)后一階段物體滑至底端所用時(shí)間為t₂，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有
L-s=vt₂+$\frac{1}{2}$a₃t₂²
解得t₂=1s
則煤塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小v′=a₂t₁+a₃t₂=10×1+2×1=12m/s
（2）第一階段炭塊的速度小于皮帶速度，炭塊相對(duì)皮帶向上移動(dòng)，炭塊的位移為：
x=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{100}{2×10}$=5m
傳送帶的位移為x′=vt=10×1=10m，故炭塊相對(duì)傳送帶上移5m，
第二階段炭塊的速度大于皮帶速度，炭塊相對(duì)皮帶向下移動(dòng)，炭塊的位移為：
x₂=vt₂+$\frac{1}{2}$a₃t₂²=10×2+$\frac{1}{2}$×2×2²=24m
傳送帶的位移為20m，所以相對(duì)于傳送帶向下運(yùn)動(dòng)4m，
故傳送帶表面留下黑色炭跡的長(zhǎng)度為5m
答：（1）皮帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，煤塊從A運(yùn)動(dòng)到B所用時(shí)間為4s；
（2）皮帶逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，煤塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為12m/s；
（3）皮帶逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，煤塊在傳送帶上留下的痕跡長(zhǎng)度為5m．

點(diǎn)評(píng) 從此例題可以總結(jié)出，皮帶傳送物體所受摩擦力可能發(fā)生突變，不論是其大小的突變，還是其方向的突變，都發(fā)生在物體的速度與傳送帶速度相等的時(shí)刻．要理清物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律進(jìn)行求解．