Question

12．一小船渡河，河寬d=180m，水流速度v₁=2.5m/s．若船在靜水中的速度為v₂=5m/s，（sin37°=cos53°=0.6，cos37°=sin53°=0.8）求：
（1）使船在最短的時(shí)間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝什么方向？最短時(shí)間是多少？
（2）使船渡河的航程最短，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長時(shí)間？
（3）若船在靜水中的速度為v₂=1.5m/s，要使船渡河的航程最短，船頭應(yīng)朝什么方向？位移是多少？

Answer 1

分析 當(dāng)靜水速與河岸垂直時(shí)，渡河時(shí)間最短；若船速大于水流速度時(shí)，當(dāng)合速度與河岸垂直時(shí)，渡河航程最短，若船速小于水流速度時(shí)，合速度垂直船速，對(duì)應(yīng)的船航程最短，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與平行四邊形定則，即可求解．

解答 解：（1）欲使船在最短時(shí)間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝垂直河岸方向．
當(dāng)船頭垂直河岸時(shí)，如圖甲所示．
合速度為傾斜方向，垂直分速度為v₂=5 m/s．
t=$\frac7vv9fjx{{v}_{2}}$=$\frac{180}{5}$s=36 s
（2）欲使船渡河航程最短，應(yīng)垂直河岸渡河，船頭應(yīng)朝上游與垂直河岸方向成某一夾角α
如圖乙所示，
有v₂sin α=v₁，得α=30°
所以當(dāng)船頭向上游偏30°時(shí)航程最短．
s′=d=180 m．
t′=$\frac3jtbfx9{{v}_{2}cos30°}$=$\frac{180}{5×\frac{\sqrt{3}}{2}}$s=24$\sqrt{3}$s
（3）因v_船＜v_水，若要使船航程最短，船頭應(yīng)指向上游與河岸成θ角，
如下圖所示，

cosθ=$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$=$\frac{1.5}{2.5}$=0.6，則θ=53°，
最短航程為x_min=$\frac{d{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{2.5}{1.5}$×180m=300m
所需要的時(shí)間為t′=$\frac{{x}_{min}}{{v}_{1}sin53°}$=$\frac{300}{2.5×0.8}$s=150s；
答：（1）船頭垂直于河岸，時(shí)間為36s；
（2）船頭向上游偏30°，時(shí)間為24$\sqrt{3}$s．
（3）要使船渡河的航程最短，船頭應(yīng)偏向上游53°，位移是300m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，當(dāng)靜水速與河岸垂直，渡河時(shí)間最短；當(dāng)合速度與河岸垂直，渡河航程最短．小船過河問題屬于運(yùn)動(dòng)的合成問題，要明確分運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性、獨(dú)立性，運(yùn)用分解的思想，看過河時(shí)間只分析垂直河岸的速度，船航行時(shí)速度為靜水中的速度與河水流速二者合速度，使用平行四邊形法則求合速度．