Question

12．人們認為某些白矮星（密度較大的恒星）自轉一周的時間為T，萬有引力常量為G，為使其表面上的物體能夠被吸引住而不致由于快速轉動被“甩”掉，它的密度至少為多少？若白矮星的半徑是地球的半徑的N倍，地球的半徑為R，則白矮星的第一宇宙速度是多少？

Answer 1

分析 （1）萬有引力大于自轉所需向心力是物體不被甩掉的條件，由此分析即可；
（2）根據萬有引力提供圓周運動向心力分析第一宇宙速度的大�。�

解答 解：設白矮星赤道上的物體m恰好不被甩出去，萬有引力剛好提供自轉所需向心力有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR（\frac{2π}{T}）^{2}$①
可得白矮星的質量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，
據球的體積公式知，白矮星的體積：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$  ②
所以其平均密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．
根據$G\frac{Mm}{（NR）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{NR}$得，$v=\sqrt{\frac{GM}{NR}}$，
M=$ρ•\frac{4}{3}π（NR）^{3}$
聯(lián)立解得v=$\frac{2πRN}{T}$．
答：密度至少為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．白矮星的第一宇宙速度是$\frac{2πRN}{T}$．

點評 掌握萬有引力提供圓周運動向心力，根據近地衛(wèi)星的周期可以求出中心天體密度，這是正確解決本題的關鍵．