Question

8．平行板電容器板面積為S，極板間距為d，其間充滿相對介電常數(shù)為?_r的介質．在下列兩種情況下，介質從電容器極板間完全抽出，外力需做多少功：
（1）電容器的電壓U不變；
（2）電容器的電量Q不變：

Answer 1

分析 根據(jù)平行板電容器的電容的計算公式，分別寫出兩種情況下的電容，如何結合電容器的儲能公式即可求解．

解答 解：電容器的儲能公式：${E}_{電}=\frac{1}{2}C{U}^{2}$
平行板電容器板面積為S，極板間距為d，其間充滿相對介電常數(shù)為?_r的介質時的電容：
${C}_{1}=\frac{{?}_{r}•S}{4πkd}$．
將介質從電容器極板間完全抽出后，空氣的介電常數(shù)近似等于1．所以電容：${C}_{2}=\frac{S}{4πkd}$
（1）電容器的電壓U不變，有介質時電容器儲存的電能：${E}_{電1}=\frac{1}{2}{C}_{1}{U}^{2}$=$\frac{{?}_{r}•S•{U}^{2}}{8πkd}$
將介質從電容器極板間完全抽出儲存的電能：${E}_{電2}=\frac{1}{2}{C}_{2}{U}^{2}$=$\frac{S•{U}^{2}}{8πkd}$
外力需做功：W₁=E_電1-E_電2=$\frac{{?}_{r}•S•{U}^{2}}{8πkd}$-$\frac{S•{U}^{2}}{8πkd}$=$\frac{（{?}_{r}-1）•S{U}^{2}}{8πkd}$
（2）電容器的電量Q不變，開始時的電壓：${U}_{1}=\frac{Q}{{C}_{1}}=\frac{4πkd•Q}{{?}_{r}•S}$
將介質從電容器極板間完全抽出的電壓：${U}_{2}=\frac{Q}{{C}_{2}}=\frac{4πkd•Q}{S}$
有介質時電容器儲存的電能：${E}_{電3}=\frac{1}{2}{C}_{1}{U}_{1}^{2}=\frac{1}{2}Q•{U}_{1}=\frac{2πkd•{Q}^{2}}{{?}_{r}•S}$
將介質從電容器極板間完全抽出儲存的電能：${E}_{電4}=\frac{1}{2}{C}_{2}{U}_{2}^{2}=\frac{1}{2}Q•{U}_{2}$=$\frac{2πkd•{Q}^{2}}{S}$
外力需做功：W₂=E_電3-E_電4=$\frac{2πkd•{Q}^{2}}{{?}_{r}•S}$-$\frac{2πkd•{Q}^{2}}{S}$=$\frac{2πkd•{Q}^{2}}{{?}_{r}•S}（1-{?}_{r}）$
答：（1）電容器的電壓U不變時外力需做功$\frac{（{?}_{r}-1）•S{U}^{2}}{8πkd}$；
（2）電容器的電量Q不變時外力需做功$\frac{2πkd•{Q}^{2}}{{?}_{r}•S}（1-{?}_{r}）$：

點評 該題中，需要求外力的功，其本質是根據(jù)功能關系，分別計算出在不同的條件下電容器儲存的電場能，它們的差就是外力需要做的功．