Question

3．如圖所示為四旋翼無(wú)人機(jī)，它是一種能夠垂直起降的小型遙控飛行器，目前正得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用．一架質(zhì)量m=1.6kg的無(wú)人機(jī)，其動(dòng)力系統(tǒng)所能提供的最大升力F=36N，已知每個(gè)旋翼所能提供的升力F_i=kω_i²，（k為常數(shù)，ω_i為旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度），運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受空氣阻力大小恒為f=4N，取g=10m/s²．
（1）無(wú)人機(jī)從靜止開(kāi)始，以最大升力豎直向上起飛，求t=5s時(shí)離地面的高度h；
（2）無(wú)人機(jī)懸停在距離地面高度H=90m處時(shí)，求其旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與提供最大升力時(shí)旋翼的角速度之比（$\frac{{ω}_{i}}{{ω}_{m}}$）；
（3）當(dāng)無(wú)人機(jī)懸停在距離地面高度H=90m處時(shí)，由于動(dòng)力設(shè)備故障，無(wú)人機(jī)突然失去升力而墜落，墜落過(guò)程中，遙控設(shè)備及時(shí)干預(yù)，動(dòng)力設(shè)備重新啟動(dòng)，提供向上最大升力，為保證安全著地，求無(wú)人機(jī)從開(kāi)始下落到恢復(fù)升力的最長(zhǎng)時(shí)間t_m．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出以最大升力豎直向上起飛的加速度，結(jié)合位移時(shí)間公式求出5s時(shí)離地的高度．
（2）抓住最大升力與旋翼角速度的關(guān)系求出最大角速度，抓住懸停時(shí)重力等于升力，求出旋翼的角速度，從而得出旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與提供最大升力時(shí)旋翼的角速度之比．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出下落的加速度，以及恢復(fù)最大升力后的加速度，抓住位移關(guān)系求出最大速度，從而結(jié)合速度時(shí)間公式求出無(wú)人機(jī)從開(kāi)始下落到恢復(fù)升力的最長(zhǎng)時(shí)間．

解答 解：（1）由牛頓第二定律得：F-mg-f=ma，
代入數(shù)據(jù)解得：a=10m/s²，
上升高度：h=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×10×25m=125m$．
（2）動(dòng)力系統(tǒng)所能提供的最大升力時(shí)：36=$4k{{ω}_{m}}^{2}$  
即：$k{{ω}_{m}}^{2}=9$，
懸停在H=90m處時(shí)：$4k{{ω}_{i}}^{2}=mg$   
即：$k{{ω}_{i}}^{2}=4$，
所以$\frac{{ω}_{i}}{{ω}_{m}}=\frac{2}{3}$．
（3）下落過(guò)程中：mg-f=ma₁
代入數(shù)據(jù)解得：${a}_{1}=7.5m/{s}^{2}$．
恢復(fù)升力后向下減速運(yùn)動(dòng)過(guò)程：F-mg+f=ma₂，
代入數(shù)據(jù)解得加速度大小為：${a}_{2}=15m/{s}^{2}$．
設(shè)恢復(fù)升力時(shí)的速度為v_m，則有：$\frac{{{v}_{m}}^{2}}{2{a}_{1}}+\frac{{{v}_{m}}^{2}}{2{a}_{2}}=H$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_m=30m/s．
由v_m=a₁t_m得：${t}_{m}=\frac{30}{7.5}s=4s$．
答：（1）t=5s時(shí)離地面的高度為125m；
（2）其旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與提供最大升力時(shí)旋翼的角速度之比為$\frac{2}{3}$；
（3）無(wú)人機(jī)從開(kāi)始下落到恢復(fù)升力的最長(zhǎng)時(shí)間為4s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵理清無(wú)人機(jī)在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，知道加速度是聯(lián)系力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的橋梁．