Question

6．如圖所示，物塊A的質(zhì)量為M，物塊B、C的質(zhì)量都是m，且m＜M＜2m．三物塊用細(xì)線通過輕質(zhì)滑輪連接，物塊B與物塊C的距離和物塊C到地面的距離都是l．現(xiàn)將物塊A下方的細(xì)線剪斷，若物塊A距滑輪足夠遠(yuǎn)且不計(jì)一切阻力．求：
（1）物塊A上升的最大速度．
（2）若B不能著地，求$\frac{M}{m}$滿足的條件；
（3）若B能著地，求物塊A上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)C著地后，A、B兩物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒，A上升L時(shí)，速度最大，結(jié)合系統(tǒng)機(jī)械能守恒求出物塊A上升的最大速度；
（2）C落地后，根據(jù)AB兩物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒，求出B恰好落地的臨界條件，再判斷M與m的關(guān)系；
（3）物塊B著地后，A做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解．

解答 解：（1）A、B、C三物塊系統(tǒng)機(jī)械能守恒．B、C下降L，A上升L時(shí)，A的速度達(dá)最大．
2mgL-MgL=$\frac{1}{2}$（M+2m）v²，
解得：v=$\sqrt{\frac{2（2m-M）gL}{2m+M}}$．
（2）當(dāng)C著地后，若B恰能著地，即B物塊下降L時(shí)速度為零．A、B兩物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒．有：MgL-mgL=$\frac{1}{2}$（M+m）v²，
將v代入，整理得：M=$\sqrt{2}$m
所以$\frac{M}{m}＞\sqrt{2}$時(shí)，B物塊將不會(huì)著地．   
（3）若B物塊著地，著地后A還會(huì)上升一段．設(shè)上升的高度為h，B著地時(shí)A、B整體的速度大小為v₁，從C著地至B著地過程中根據(jù)動(dòng)能定理可得：
$-MgL+mgL=\frac{1}{2}（M+m）（{{v}_{1}}^{2}-{v}^{2}）$，
${{v}_{1}}^{2}=\frac{4（2{m}^{2}-{M}^{2}）gL}{（m+M）（2m+M）}$，
B著地后A繼續(xù)上升的高度為：h=$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2g}=\frac{2（2{m}^{2}-{M}^{2}）L}{（m+M）（2m+M）}$．
A 上升的最大高度為：H=2L+h=2L+$\frac{2（2{m}^{2}-{M}^{2}）L}{（m+M）（2m+M）}$．
答：（1）物塊A上升的速度為$\sqrt{\frac{2（2m-M）gL}{2m+M}}$．
（2）$\frac{M}{m}＞\sqrt{2}$時(shí)，B物塊將不會(huì)著地．
（3）物塊A上升的最大高度為2L+$\frac{2（2{m}^{2}-{M}^{2}）L}{（m+M）（2m+M）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是要靈活地選擇研究對(duì)象，雖然單個(gè)物體機(jī)械能不守恒，但系統(tǒng)機(jī)械能守恒．