Question

8．如圖所示，AB長L₀=2m的粗糙水平軌道，MD為光滑水平軌道，圓O為半徑R=0.45m的下端不閉合的豎直光滑圓軌道，它的入口和出口分別為AB和MD在B、M兩點(diǎn)水平平滑連接．D點(diǎn)右側(cè)有一寬x₀=0.9m的壕溝，壕溝右側(cè)的水平面EG比軌遭MD低h=0.45m．質(zhì)量m=0.2kg的小車（可視為質(zhì)點(diǎn)）能在軌道上運(yùn)動(dòng)．空氣阻力不計(jì)，g取10m/s²．
（1）將小車至于D點(diǎn)靜止，為使小車能越過壕溝，至少要使小車具有多大的水平初速度？
（2）將小車至于A點(diǎn)靜止，用F=1.9N的水平恒力向右拉小車，F(xiàn)作用的距離最大不超過2m，小車在AB軌道上受到的摩擦力恒為f=0.3N，為使小車通過圓軌道完成圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)入MD軌道后，能夠從D點(diǎn)越過壕溝，力F的作用時(shí)間應(yīng)該滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合最小水平距離得出初速度的范圍．
（2）根據(jù)牛頓第二定理求出最高點(diǎn)的最小速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出最低點(diǎn)M的速度，從而判斷出滿足通過壕溝以及通過最高點(diǎn)的條件，結(jié)合動(dòng)能定理求出F作用的最小距離，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出作用的最短時(shí)間，根據(jù)F作用的最大路程求出F作用的最長時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.45}{10}}s=0.3s$，
則小車具有的最小初速度${v}_{0}=\frac{{x}_{0}}{t}=\frac{0.9}{0.3}m/s=3m/s$．
（2）小球通過最高點(diǎn)的最小速度${v}_{1}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.45}$m/s=$\sqrt{4.5}m/s$，
根據(jù)動(dòng)能定理知，$mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得v_M=$\sqrt{13.5}$m/s＞3m/s，
可知小球能夠通過最高點(diǎn)，則能通過壕溝，
對A到C的過程運(yùn)用動(dòng)能定理得，$Fx-f{L}_{0}-mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-0$，
代入數(shù)據(jù)解得x=1.5m，
根據(jù)牛頓第二定律得，a=$\frac{F-f}{m}=\frac{1.9-0.3}{0.2}m/{s}^{2}=8m/{s}^{2}$，
根據(jù)x=$\frac{1}{2}a{t′}^{2}$得，力F作用的最短時(shí)間$t′=\sqrt{\frac{2x}{a}}=\sqrt{\frac{2×1.5}{8}}s≈0.6s$，
力F作用的最長時(shí)間$t″=\sqrt{\frac{2{L}_{0}}{a}}=\sqrt{\frac{2×2}{8}}s≈0.7s$，
則力F的作用時(shí)間應(yīng)該滿足0.6s≤t≤0.7s．
答：（1）至少要使小車具有3m/s的水平初速度；
（2）力F的作用時(shí)間應(yīng)該滿足0.6s≤t≤0.7s．

點(diǎn)評 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．