Question

18．如圖甲所示，在直角坐標(biāo)系0≤x≤L區(qū)域內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小E=$\frac{{\sqrt{3}mv_0^2}}{3eL}$，右側(cè)有一個(gè)以點(diǎn)（3L，0）為中心、邊長(zhǎng)為2L的正方形區(qū)域，其邊界ab與x軸平行，正方形區(qū)域與x軸的交點(diǎn)分別為M、N．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為e的電子，從y軸上的A點(diǎn)以速度v₀沿x軸正方向射入電場(chǎng)，飛出電場(chǎng)后從M點(diǎn)進(jìn)入正方形區(qū)域．

（1）求電子進(jìn)入正方形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度v；
（2）在正方形區(qū)域加垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，使電子從正方形區(qū)域邊界點(diǎn)d點(diǎn)射出，則B的大小為多少；
（3）若當(dāng)電子到達(dá)M點(diǎn)時(shí)，在正方形區(qū)域加如圖乙所示周期性變化的磁場(chǎng)（以垂直于紙面向外為磁場(chǎng)正方向），最后電子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后從N點(diǎn)飛出，速度方向與電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相同，求正方形磁場(chǎng)區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小、磁場(chǎng)變化周期T各應(yīng)滿足的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）電子在電場(chǎng)中作類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)水平位移和豎直位移，由位移公式和牛頓第二定律結(jié)合求解電子進(jìn)入正方形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度v．
（2）畫出電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，由洛倫茲力提供向心力列式，求解B的大�。�
（3）在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)電子的偏轉(zhuǎn)角為60°，由幾何知識(shí)得到在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)，粒子在x軸方向上的位移等于電子的軌跡半徑R，由題意，粒子到達(dá)N點(diǎn)而且速度符合要求的空間條件是：2nR=2L，由牛頓第二定律得到半徑R=$\frac{mv}{e{B}_{0}}$，聯(lián)立得到磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小表達(dá)式．電子在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期恰好轉(zhuǎn)過(guò)$\frac{1}{6}$圓周，同時(shí)MN間運(yùn)動(dòng)時(shí)間是磁場(chǎng)變化半周期的整數(shù)倍時(shí)，可使粒子到達(dá)N點(diǎn)并且速度滿足題設(shè)要求，應(yīng)滿足的時(shí)間條件：$\frac{T}{2}$，而T=$\frac{2πm}{e{B}_{0}}$，可求得T的表達(dá)式．

解答 解：（1）電子在電場(chǎng)中作類平拋運(yùn)動(dòng)，射出電場(chǎng)時(shí)，如圖1所示．

電子在電場(chǎng)中的時(shí)間：t=$\frac{L}{{v}_{0}}$
 ${v_y}=\frac{Eet}{m}=\frac{{\sqrt{3}{v_0}}}{3}$
所以：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}}{3}$
與x軸正方向的夾角：$cosθ=\frac{v_0}{v}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，θ=30°
（2）由幾何關(guān)系電子的半徑 R₁=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}L$
由牛頓第二定律：$evB=m\frac{v^2}{R_1}$
聯(lián)立⑤⑥得：$B=\frac{{2m{v_0}}}{eL}$
（3）在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)粒子的偏轉(zhuǎn)角為60°（如圖2），所以，在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)，粒子在x軸方向上的位移恰好等于R．粒子到達(dá)N點(diǎn)而且速度符合要
求的空間條件是：2nR=2L 
電子在磁場(chǎng)作圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑 $R=\frac{mv}{{e{B_0}}}$）
解得${B_0}=\frac{{2\sqrt{3}nm{v_0}}}{3eL}$（n=1、2、3…）
若粒子在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期恰好轉(zhuǎn)過(guò)$\frac{1}{6}$圓周，同時(shí)MN間運(yùn)動(dòng)時(shí)間是磁場(chǎng)變化周期的整數(shù)倍時(shí)，可使粒子到達(dá)N點(diǎn)并且速度滿足題設(shè)要求．應(yīng)滿足的時(shí)間條件：$2n\frac{1}{6}{T_0}=nT$
又 ${T_0}=\frac{2πm}{{e{B_0}}}$
代入T的表達(dá)式得：T=$\frac{{\sqrt{3}πL}}{{3n{v_0}}}$（n=1、2、3…）
答：
（1）電子進(jìn)入正方形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度v為$\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}}{3}$，方向與水平方向成30°斜向下；
（2）B的大小為$\frac{2m{v}_{0}}{eL}$；
（3）正方形磁場(chǎng)區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小為$\frac{2\sqrt{3}nm{v}_{0}}{3eL}$（n=1、2、3…），磁場(chǎng)變化周期T為$\frac{{\sqrt{3}πL}}{{3n{v_0}}}$（n=1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng) 電子在電場(chǎng)中，關(guān)鍵是將粒子的運(yùn)動(dòng)沿著水平方向和豎直方向正交分解，然后根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式分析求解；在磁場(chǎng)中，關(guān)鍵要畫出軌跡圖分析，特別是第三小題，要抓住周期性，根據(jù)幾何關(guān)系求解電子的半徑滿足的條件．