Question

12．游樂場的過山車可以底朝上的圓軌道上運行，游客卻不會掉下來（如圖甲）．我們可以把它抽象成圖乙所示的由曲面軌道和圓軌道平滑連接的模型（不計摩擦和空氣阻力）．若質量為m的小球從曲而軌道上的P點由靜止開始下滑，并且可以順利通過半徑為R的圓軌道的最高點A．已知P點與B點的高度差h=3R．求：
（1）小球通過最低點B時速度有多大？
（2）小球通過B點時受到圓軌道支持力有多大？
（3）若小球在運動中需要考慮摩擦和空氣阻力，當小球從P點由靜止開始下滑，且剛好通過最高點A，則小球從P點運動到A點的過程中克服摩擦和空氣阻力所做的功為多少？

Answer 1

分析 （1）欲求B點的速度，只需對于P到B過程應用動能定理或者是機械能守恒都可以；
（2）先以小球為研究對象，利用牛頓第二定律求出軌道對小球的彈力，由牛頓第三定律知道小球對軌道的壓力；
（3）首先求出剛好能通過最高點A點時的臨界速度，再應用動能定理就可以了．

解答 解：（1）設小球在最低點的速度為V，由動能定理得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得：v=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{6gR}$
（2）取小球為研究對象，小球在A點的速度為V_A，設軌道對小球的彈力為F，
由動能定理得：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
由向心力定義和牛頓第二定律得：F+mg=$\frac{m{v}_{A}^{2}}{r}$
聯(lián)立得：F=mg
由牛頓第三定律得：小球對軌道的壓力為：F′=mg
（3）設小球剛好在A點的速度為V₀，由向心力定義和牛頓第二定律得：
mg=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
即：v₀=$\sqrt{gR}$
設小球從P點運動到A點的過程中克服摩擦和空氣阻力所做的功W，由動能定理得：
mg（h-2R）+W=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：W=-0.5mgR
所以小球克服阻力做功0.5mgR
答：（1）小球通過最低點B時速度$\sqrt{6gR}$；
（2）小球通過A點時對圓軌道的壓力mg；
（3）小球從P點運動到A點的過程中克服摩擦和空氣阻力所做的功為0.5mgR

點評 本題考查動能定理和圓周運動中向心力的分析，第二問中極容易漏掉牛頓第三定律的應用，
第三問中小球在A點的臨界速度是關鍵．這是一道綜合性較強的好題．