Question

11．如圖所示，豎直平面內(nèi)有一光滑圓弧軌道，其半徑為R=0.5m，平臺(tái)與軌道的最高點(diǎn)等高．一質(zhì)量m=0.8kg的小球從平臺(tái)邊緣的A處水平射出，恰能沿圓弧軌道上P點(diǎn)的切線方向進(jìn)入軌道內(nèi)側(cè)，軌道半徑OP與豎直線的夾角為53°，已知sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10/m²．試求：
（1）小球從平臺(tái)上的A點(diǎn)射出時(shí)的速度大小v₀；
（2）小球從平臺(tái)上的射出點(diǎn)A到圓軌道入射點(diǎn)P之間的水平距離l；
（3）小球到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（4）小球沿軌道通過圓弧的最高點(diǎn)Q時(shí)對(duì)軌道的內(nèi)壁還是外壁有彈力，并求出彈力的大�。�

Answer 1

分析 （1）恰好從光滑圓弧PQ的P點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓弧，說明到到P點(diǎn)的速度v_P方向與水平方向的夾角為θ，這樣可以求出初速度v₀；
（2）從A到P是平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式列式求解即可；
（3）對(duì)從A到圓弧最低點(diǎn)過程根機(jī)械能守恒定律列式求解末速度；
（4）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求得Q點(diǎn)速度，再運(yùn)用牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)求解．

解答 解：（1）小球從A到P的高度差為：h=R（1+cos53°）
從A到P是平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式，有：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
v_y=gt
$tan53°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：v₀=3m/s 
（2）從A到P是平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式，有：
l=v₀t
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：l=1.2m 
（3）從A到圓弧最低點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：
$\frac{1}{2}m{v_1}^2=mg2R+\frac{1}{2}m{v_0}^2$
代入數(shù)據(jù)解得：${v_1}=\sqrt{29}$m/s 
（4）小球從A到達(dá)Q時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知：v_Q=v₀=3m/s；
在Q點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律，有：
${F_N}+mg=m\frac{{{v_0}^2}}{R}$
解得：${F}_{N}=-mg+m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$=-0.8×10+0.8×$\frac{{3}^{2}}{0.5}$=6.4N＞0
根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)ν夤鼙谟袎毫Γ瑸?.4N；
答：（1）小球從平臺(tái)上的A點(diǎn)射出時(shí)的速度大小為3m/s；
（2）小球從平臺(tái)上的射出點(diǎn)A到圓軌道入射點(diǎn)P之間的水平距離l為1.2m；
（3）小球到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{29}$m/s；
（4）小球沿軌道通過圓弧的最高點(diǎn)Q時(shí)對(duì)軌道的外壁有彈力，彈力的大小為6.4N．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是要進(jìn)行過程分析和狀態(tài)分析，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)分運(yùn)動(dòng)公式、機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律列式求解，求解彈力時(shí)要找到向心力來源，不難．