Question

3．如圖甲所示，是建筑工地將樁料打入泥土中以加固地基的打夯機示意圖．打夯前先將樁料扶正立于地基之上．已知夯錘的質(zhì)量為M=450kg，樁料的質(zhì)量為m=50kg．每次打夯都通過卷揚機牽引將夯錘提升到距離樁頂h₀=5m處再釋放，讓夯錘自由下落，夯錘砸在樁料上并不彈起，而是隨樁料一起向下運動．樁料進入泥土后所受阻力隨打入深度h的變化關(guān)系如圖乙所示，直線斜率k=5.05×10⁴N/m．g=10m/s²，求：打完第一夯后，樁料進入泥土的深度．（假設(shè)打第一夯前，樁料未進入泥土）

Answer 1

分析 對夯錘自由下落過程應(yīng)用機械能守恒得到碰撞前的速度，然后由動能定理求得碰撞后的速度，即可由動能定理求得樁料進入泥土的深度．

解答 解：夯錘與樁料碰撞前做自由落體運動，故機械能守恒，則有：$Mg{h}_{0}=\frac{1}{2}M{{v}_{0}}^{2}$，所以，碰撞前，夯錘的速度${v}_{0}=\sqrt{2g{h}_{0}}=10m/s$；
夯錘砸在樁料上并不彈起，而是隨樁料一起向下運動，故由動能定理可得：碰后一起運動的速度$v=\frac{M{v}_{0}}{M+m}=9m/s$；
設(shè)打完第一夯后，樁料進入泥土的深度為h，那么由圖可知：克服摩擦力做的功${W}_{f}=\frac{1}{2}k{h}^{2}$；
對在泥土中下落的過程應(yīng)用動能定理可得：$（M+m）gh-\frac{1}{2}k{h}^{2}=0$$-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$，所以，h=1m；
答：打完第一夯后，樁料進入泥土的深度為1m．

點評 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關(guān)系求解．