Question

20．如圖所示，AB為半徑R=1m的四分之一光滑豎直圓弧軌道，OB豎直．有一質(zhì)量m=2kg的物體（可視為質(zhì)點(diǎn)），從A點(diǎn)的正上方距離A點(diǎn)H=1m處由靜止開(kāi)始下落．CD段為長(zhǎng)L=2m的粗糙水平面，物體與水平面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.2．DE 段是一個(gè)可以改變傾角的長(zhǎng)斜面，物體與斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．軌道 AB、CD、DE 間均光滑連接，物塊在經(jīng)過(guò)連接處動(dòng)能損失均不計(jì)，空氣阻力不計(jì)．
（1）物體能沿軌道AB到達(dá)最低點(diǎn)B，求它到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）當(dāng)斜面傾角θ=30°，求物塊上滑的最大高度；
（3）當(dāng)斜面傾角θ（在0°～90°范圍內(nèi)）為某值時(shí)，物體上滑的最大距離具有最小值，求此最小值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)物體運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程應(yīng)用機(jī)械能守恒求得在B點(diǎn)的速度，然后由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力；
（2）對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理求解；
（3）由（2）得到上滑距離的表達(dá)式，進(jìn)而求得最小值．

解答 解：（1）物體從靜止到B運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有重力做功，機(jī)械能守恒，故有：$mg（H+R）=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以，${v}_{B}=\sqrt{2g（H+R）}=2\sqrt{10}m/s$；
對(duì)物體在B點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：物體受到的支持力${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=100N$，方向豎直向上；
故由牛頓第三定律可得：物體能沿軌道AB到達(dá)最低點(diǎn)B到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為100N，方向豎直向下；
（2）設(shè)物塊在斜面上的上滑的最大高度為h，對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理可得：$mg（H+R-h）-{μ}_{1}mgL-{μ}_{2}mgcosθ•\frac{h}{sinθ}=0$；
所以，物塊上滑的最大高度$h=\frac{mg（H+R）-{μ}_{1}mgL}{mg+{μ}_{2}mgcotθ}=\frac{H+R-{μ}_{1}L}{1+{μ}_{2}cotθ}=0.8m$；
（3）由（2）可知：物體上滑的最大高度$h=\frac{H+R-{μ}_{1}L}{1+{μ}_{2}cotθ}$，那么，物體上滑的最大距離$s=\frac{h}{sinθ}=\frac{H+R-{μ}_{1}L}{sinθ+{μ}_{2}cosθ}=\frac{1.6}{sinθ+\frac{\sqrt{3}}{3}cosθ}m$=$\frac{1.6}{\frac{2}{\sqrt{3}}sin（θ+30°）}m$；
故當(dāng)θ=60°時(shí)，物體上滑的最大距離具有最小值，${s}_{min}=0.8\sqrt{3}m$；
答：（1）物體能沿軌道AB到達(dá)最低點(diǎn)B到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為100N，方向豎直向下；
（2）當(dāng)斜面傾角θ=30°，物塊上滑的最大高度為0.8m；
（3）當(dāng)斜面傾角θ（在0°～90°范圍內(nèi)）為60°時(shí)，物體上滑的最大距離具有最小值，此最小值為$0.8\sqrt{3}m$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．