Question

3．據媒體報道，美國國家航空航天局利用兩架望遠鏡聯(lián)合觀測，首次精確測量出“開普勒-93b”這顆被稱為“超級地球”系外行星的直徑，其直徑為地球直徑的1.5倍．質量為地球質量的3.8倍．（結果保留兩位有效數字）
（1）質量為1kg的質點，放在“開普勒-93b”行星表面變到的萬有引力是放在地球表面受到的萬有引力的多少倍？
（2）緊貼“開普勒-93b”行星做勻速圓周運動的衛(wèi)星的角速度是緊貼地球表面繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星的角速度的多少倍？

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力定律求出質量為1kg的質點，放在“開普勒-93b”行星表面變到的萬有引力和放在地球表面受到的萬有引力，即可求解；
（2）根據萬有引力提供向心力分別求出緊貼“開普勒-93b”行星做勻速圓周運動的衛(wèi)星的角速度和緊貼地球表面繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星的角速度，即可求解；

解答 解：（1）質量為1kg的質點放在“開普勒-93b”行星表面變到的萬有引力${F}_{1}^{\;}$，有：
${F}_{1}^{\;}=G\frac{{M}_{開}^{\;}m}{{R}_{開}^{2}}$…①
質量為1kg的質點放在地球表面變到的萬有引力${F}_{2}^{\;}$，有：
${F}_{2}^{\;}=G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}$…②
得：$\frac{{F}_{1}^{\;}}{{F}_{2}^{\;}}=\frac{{M}_{開}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}•\frac{{R}_{地}^{2}}{{R}_{開}^{2}}=\frac{3.8}{1}×\frac{{1}_{\;}^{2}}{1．{5}_{\;}^{2}}$=1.7
（2）設緊貼“開普勒-93b”行星做勻速圓周運動的衛(wèi)星的角速度${ω}_{1}^{\;}$，根據萬有引力提供向心力，有：
$G\frac{{M}_{開}^{\;}m}{{R}_{開}^{2}}=m{ω}_{1}^{2}{R}_{開}^{\;}$
解得：${ω}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{開}^{\;}}{{R}_{開}^{3}}}$…③
設緊貼地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星的角速度${ω}_{2}^{\;}$，根據萬有引力提供向心力，有：
$G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}=m{ω}_{2}^{2}{R}_{地}^{\;}$
解得：${ω}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{地}^{\;}}{{R}_{地}^{3}}}$…④
聯(lián)立③④得：$\frac{{ω}_{1}^{\;}}{{ω}_{\;}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{開}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}•\frac{{R}_{地}^{3}}{{R}_{開}^{3}}}$=$\sqrt{\frac{3.8}{1}×\frac{1}{1．{5}_{\;}^{3}}}$=1.1
答：（1）質量為1kg的質點，放在“開普勒-93b”行星表面變到的萬有引力是放在地球表面受到的萬有引力的1.7倍；
（2）緊貼“開普勒-93b”行星做勻速圓周運動的衛(wèi)星的角速度是緊貼地球表面繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星的角速度的1.1倍

點評 本題衛(wèi)星繞行星的類型，建立模型，根據萬有引力提供向心力，萬有引力近似等于重力進行求解