直線
(一)直線的傾斜角()和斜率()
1. 定義 傾斜角范圍 斜率:
2. 與的關(guān)系:
注:準(zhǔn)確地把握這兩個(gè)概念,關(guān)注斜率不存在帶來的問題。
[例] (1)直線的斜率 ,傾斜角 。
(2)若,則直線的斜率 ,傾斜角 。
拓展:取消的限制,結(jié)論如何。
(3)直線L過點(diǎn)且與以,為端點(diǎn)的線段PQ相交,則斜率的取值范圍 ,傾斜角的取值范圍 。
(4)若,則 。
(5)若時(shí),則 。
答案:(1); (2);
(3);
(4) (5)
(二)直線方程
1. 直線方程的五種形式及適用范圍
(1)斜截式: 不含與軸垂直的直線
(2)點(diǎn)斜式: 不含與軸垂直的直線
(3)兩點(diǎn)式: 不含與軸、軸垂直的直線
(4)截矩式: 不含過原點(diǎn)和與軸、軸垂直的直線
(5)一般式: 無限制(可表示任何直線)
注:兩點(diǎn)式的“改良” 可表示任何直線。
2. 直線系:
(1)平行直線系: (為待定系數(shù),斜率已知)
(2)過定點(diǎn)直線系: (為待定系數(shù),點(diǎn)為已知)
(3)過兩直線交點(diǎn)的直線系:已知;,則 (為參數(shù)--待定系數(shù))
L是過與交點(diǎn)的直線系 (不含)
若,則L是與與平行的直線系。
注:(1)與已知直線平行的直線系:(為參數(shù))
(2)與已知直線垂直的直線系:(為參數(shù))
(三)兩條直線的位置關(guān)系
1. 判定兩條直線的位置關(guān)系(三種:相交、平行、重合)
設(shè);
;
(1)或僅有一個(gè)不存在
或一個(gè)為零一個(gè)不存在
(2)且或均不存在且
(3)與重合且或均不存在且
[例題] 已知兩直線;,當(dāng)為何值時(shí),與(1)相交(2)平行(3)重合
解:當(dāng)時(shí),則 ∴
(1)當(dāng)時(shí),; ∴
(2)當(dāng)時(shí),; ∴
(3)當(dāng)時(shí),; ∴ 重合
(4)當(dāng),,時(shí),相交。
說明:時(shí),與平行或重合相交且只有有數(shù)幾個(gè)值應(yīng)先分析。
2. 兩條直線所成的角(夾角)與直線到的角
夾角: 到的角:
3. 點(diǎn)到直線的距離:
到的距離為;到的距離為,兩條平行線;,則與的距離
(四)對(duì)稱性問題(專題)方法--相關(guān)點(diǎn)法
1. 對(duì)稱分兩大類
(1)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱:點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn)中心對(duì)稱點(diǎn)
(2)關(guān)于直線軸對(duì)稱:點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),則解出的值為:
2. 常用對(duì)稱的規(guī)律:已知點(diǎn),直線
(1)關(guān)于X軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn);
(2)關(guān)于Y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn);
(3)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn);
(4)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn);
(5)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn);
(6)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn);
(7)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn);
(8)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn);
(9)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn);
(10)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn);
思考:我們注意到只須將對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)Q代入直線L即得對(duì)稱的直線方程,為什么?
它們的理論依據(jù)是什么?--“相關(guān)點(diǎn)法”
我們以(9)題為例,即求直線,關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程。
解:設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)
關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)
則 ∴ ∴
∵ ∴ 即:
點(diǎn)撥:① 代入對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的理論依據(jù)是“相關(guān)點(diǎn)法”
② 有關(guān)對(duì)稱性問題都可用“相關(guān)點(diǎn)法”求對(duì)稱曲線。
(五)線性規(guī)劃
1. 二元一次不等式表示平面區(qū)域
(1)二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示直線
一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域,直線應(yīng)畫成虛線,表示直線另一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域,畫不等式。所表示的平面區(qū)域時(shí),應(yīng)把邊界直線畫成實(shí)線。
(2)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式表示的平面點(diǎn)集的交集即各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。
快捷判斷法:
(1)代點(diǎn)檢驗(yàn)法
(2)直線上半平面為的區(qū)域;下半平面為的區(qū)域
2. 線性規(guī)劃
(1)對(duì)于變量的約束條件,都是關(guān)于的一次不等式,稱為線性約束條件,是欲達(dá)到最值所涉及的變量的解析式,叫做目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)是關(guān)于的一次解析式時(shí),叫做線性目標(biāo)函數(shù)。
(2)求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最值問題稱為線性規(guī)劃問題,滿足線性約束條件的解稱為可行解。由所有解組成的集合叫可行域,使目標(biāo)函數(shù)取得最值的可行解叫最優(yōu)解。
3. 求解線性規(guī)劃問題的步驟是:(1)根據(jù)實(shí)際問題的約束條件列出不等式;(2)作出可行域,寫出目標(biāo)函數(shù);(3)確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置,從而獲得最優(yōu)解。
[模擬試題](答題時(shí)間:45分鐘)
1. 直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為( )
A. B. C. D.
2. 若直線與直線平行,則在兩坐標(biāo)軸上截距之和為( )
A. B. C. D.
3. 過原點(diǎn),且與直線成角的直線方程為( )
A. B. C. 或 D.
4. 已知為直線和所成的角,則當(dāng)取最大值時(shí),實(shí)數(shù)值為( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
5. 三條直線;;不能圍成三角形,則取值的個(gè)數(shù)為( )
A. B. C. D.
6. 直線過點(diǎn),且與以和為端點(diǎn)的線段相交,則斜率取值范圍為( )
A. B. C. D. 以上都不對(duì)
7. 將直線沿軸正向平移2個(gè)單位,再沿軸負(fù)方向平移3個(gè)單位,又回到了原來的位置,則的斜率為( )
A. B. C. D.
8. 已知點(diǎn)和分別是直線上和外的點(diǎn),若方程為,則方程表示( )
A. 與重合的直線 B. 過且與垂直的直線
C. 過且與平行的直線 D. 不過但與平行的直線
9. 已知點(diǎn),,P點(diǎn)在直線上,使最大,則P點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
10. 若方程表示一條直線,則實(shí)數(shù)滿足( )
A. B. 或
C. 或 D. 或
11. 曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線方程為( )
A. B.
C. D.
12. 函數(shù)一條對(duì)稱軸為,則傾斜角為( )
A. B. C. D.
13. 直線與及坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓,則值為( )
A. B. C. D.
14. 中,,且,則A點(diǎn)軌跡方程為( )
A. B.
C. D.
15. 已知;,則、和軸圍成三角形面積最小值為 。
16. 過點(diǎn),的直線與直線交于P點(diǎn),則P點(diǎn)分的比為
。
17. 由確定的可行域中,橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有 個(gè)。
18. 已知集合,,且,則中元素個(gè)數(shù)為 。
19. 過點(diǎn)作交正半軸于A,作交正半軸于B,若,且AB恰平分四邊形OAMB面積,求直線AB方程。
20. 一化工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品,生產(chǎn)成本為20元/,出廠價(jià)為50元/,每生產(chǎn)1該產(chǎn)品產(chǎn)生的污水,有兩種處理方式:直接排入河流或輸送到污水處理廠。環(huán)保部門對(duì)排入河流污水收費(fèi)為15元/,污水處理廠對(duì)污水收費(fèi)為5元/,但只能凈化污水的,未凈化污水仍排入河流,且排放費(fèi)仍由廠家付給,若污水處理廠處理污水最大能力為/分鐘,環(huán)保部門允許該化工廠污水排入河流最大排放量為/分鐘,問該化工廠每分鐘生產(chǎn)多少產(chǎn)品,每分鐘直接排入河流污水為多少時(shí)純利潤最高?
直線參考答案
[試題答案]
一. 選擇題
1. D 2. B 3. C 4. C 5. C 6. C 7. B 8. C 9. A 10. C
11. D 12. B 13. B 14. A
二. 填空題
15. 16. 17. 18.
三. 解答題
19. 解:設(shè),則,
則,
由
或
故或
20. 解:設(shè)每分鐘生產(chǎn),產(chǎn)生污水,排入河流,純利潤元
由已知,則有 即
即
利用線性規(guī)劃方法可知,當(dāng),時(shí),
所以每分鐘生產(chǎn),排入河流,純利潤最高。
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com