例3  點(diǎn)P與定點(diǎn)F（2，0）的距離和它到直線x=8的距離比是1：3,求動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)距離的最值。

    錯(cuò)解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到直線x=8的距離為d，則

    即

    兩邊平方、整理得

    =1    （1）

    由此式可得：

    因?yàn)?sub>

    所以

    剖析  由上述解題過(guò)程知,動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在一橢圓上，由橢圓性質(zhì)知，橢圓上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都是有限制的，上述錯(cuò)解在于忽視了這一取值范圍，由以上解題過(guò)程知，的最值可由二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性給予解決

    即：當(dāng)時(shí)，

    例4  已知雙曲線的離心率e=, 過(guò)點(diǎn)A（）和B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為,直線y=kx+m與該雙曲線交于不同兩點(diǎn)C、D，且C、D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一圓上，求m 的取值范圍。

    錯(cuò)解  由已知，有

    解之得：

    所以雙曲線方程為

    把直線 y=kx+m代入雙曲線方程，并整理得：

    所以(1)

    設(shè)CD中點(diǎn)為，

    則APCD，且易知：

    所以

      (2)

    將(2)式代入(1)式得

    解得m>4或

    故所求m的范圍是

    剖析  上述錯(cuò)解，在于在減元過(guò)程中，忽視了元素之間的制約關(guān)系，將代入(1) 式時(shí)，m受k的制約。

    因?yàn)?sub>

    所以

    故所求m的范圍應(yīng)為

    m>4或

    例5  橢圓中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率,已知點(diǎn)P（）到橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程。

    錯(cuò)解   設(shè)所求橢圓方程為

    因?yàn)?sub>

    所以a=2b

    于是橢圓方程為

    設(shè)橢圓上點(diǎn)M（x,y）到點(diǎn)P 的距離為d,

    則：

    所以當(dāng)時(shí)，

    有

    所以所求橢圓方程為

    剖析  由橢圓方程

    得

    由(1)式知是y的二次函數(shù)，

    其對(duì)稱軸為

    上述錯(cuò)解在于沒(méi)有就對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)或外進(jìn)行分類(lèi)，

    其正確應(yīng)對(duì)f(y)=的最值情況進(jìn)行討論：

    （1）當(dāng)，即時(shí)

    =7

    ,方程為

    （2）當(dāng),

    即時(shí)，

    ，與矛盾。

    綜上所述，所求橢圓方程為

    五、忽視判別式法。

    例 6 已知雙曲線,問(wèn)過(guò)點(diǎn)A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，并且A為線段PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線的方程，若不存在，說(shuō)明理由。

    錯(cuò)解  設(shè)符合題意的直線存在，并設(shè)、

    則

    （1）得

    因?yàn)锳（1，1）為線段PQ的中點(diǎn)，

    所以

    將(4)、(5)代入（3）得

    若，則直線的斜率

    所以符合題設(shè)條件的直線存在。

    其方程為

    剖析  在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應(yīng)對(duì)所求直線進(jìn)行檢驗(yàn)，上述錯(cuò)解沒(méi)有做到這一點(diǎn)，故是錯(cuò)誤的。

    應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上，再由

    得

    根據(jù),說(shuō)明所求直線不存在。

    六、忽視斜率不存在的情況。

    例7  已知橢圓，F(xiàn)為它的右焦點(diǎn)，直線過(guò)原點(diǎn)交橢圓C于A、B兩點(diǎn)。求是否存在最大值或最小值？若不存在，說(shuō)明理由。

    錯(cuò)解 設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、

    因?yàn)?sub>

    所以

    又橢圓中心為（1，0）,右準(zhǔn)線方程為x=5

    所以

    即

    同理

    所以

    設(shè)直線的方程為y=kx，代入橢圓方程得

    所以

    代入(1)式得

    所以

    所以|有最小值3,無(wú)最大值。

    剖析  上述錯(cuò)解過(guò)程忽視了過(guò)原點(diǎn)斜率不存在的直線，當(dāng)的斜率不存在時(shí)，有

   所以有最小值為 3，最大值為25/4