安徽省巢湖市2009屆高三第二次教學質(zhì)量檢測

數(shù)學(理科)試題

 

命題人:   廬江二中   孫大志      柘皋中學   孫  平       巢湖四中   胡善俊

 

參考公式:

1.球的表面積公式,其中表示球的半徑.

2.球的體積公式,其中表示球的半徑.

3.柱體的體積公式 ,其中表示柱體的底面積,表示柱體的高.

4.錐體的體積公式 ,其中表示錐體的底面積,表示錐體的高.

5. 線性回歸方程中的的計算公式.

 

    一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,

1.設集合,則為                                                                    

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A.       B.     C.     D.

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2. 等差數(shù)列的前項和為,若 ,則                             

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A.1004               B.2008               C.2009              D.2010

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3. 函數(shù)的最小正周期為,且其圖像向右平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù),則函數(shù)的圖象                        

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A.關于點對稱                 B.關于直線對稱

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C.關于點對稱                D.關于直線對稱

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4.  已知為直線,為平面,則下列命題中真命題的是

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A.            B. ,則   

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C.            D.

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5.已知雙曲線以坐標原點為頂點,以曲線的頂點為焦點的拋物線與曲線漸近線的一個交點坐標為(4,4),則雙曲線的離心率為                

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A.               .              C.               D.  

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6. 下列結(jié)論:

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 ①周期為的必要條件;

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    ②;

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    ③“,使得”是假命題,則;

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④某校在巢湖市第一次教學質(zhì)量檢測中的數(shù)學成績服從正態(tài)分布,則.

其中正確的是                                                         

A. ②③        B.③④        C. ①②③        D. ①②③④

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7.已知向量,的最小值為

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A. 1           B.          C.      D.

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8. 某廠一月份、二月份、三月份、四月份的利潤分別為2、4、4、6(單位:萬元),用線性回歸分析估計該廠五月份的利潤為                                       

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       A.6.5萬元                 B.7萬元                C.7.5萬元               D. 8萬元

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9. 下圖是把二進制的數(shù)化成十進制數(shù)的一個程序框圖,則判斷框內(nèi)應填入的條件是                                                               

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A.    B.     C.      D.

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10.關于的不等式的解集為,則實數(shù)的取值范圍為   

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A          B.         C.           D.

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11.已知集合,集合,若向區(qū)域內(nèi)投一點,則點落在區(qū)域內(nèi)的概率為                    

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A.            B.            C.              D.

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12. 已知函數(shù)的定義域為導函數(shù)為,則滿足的實數(shù)的取值范圍為         

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A.   B.   C.   D.

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二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,滿分16分.

13.已知直線的極坐標方程為,圓的參數(shù)方程為,若以原點為極點,軸非負半軸為極軸,則直線被圓截得的弦長為                 .

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14. 如圖是甲乙兩同學在高三的5次月考成績的莖葉圖,         甲        乙

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根據(jù)莖葉圖對甲乙兩人的考試成績作比較,請你寫出               5   7

兩個統(tǒng)計結(jié)論:                                         8  6  1   8   0  2  6  7

①                                                   ;        5   9   0

                                               .

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15. 二項式展開式中,前三項系數(shù)依次組成等差數(shù)列,則展開式中的常數(shù)項等于_              _.

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16.一個球的表面積為,則它的內(nèi)接圓柱的體積的最大值是         .

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三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

17. (本小題滿分12分)

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已知向量,設

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(Ⅰ)求函數(shù) 上的零點;

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(Ⅱ)設的內(nèi)角的對邊分別為,已知 ,求邊的值.

 

 

 

 

 

 

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    •  

       

       

       

       

       

      (Ⅰ)求三棱錐A-PDC的體積;

      (Ⅱ)試在PB上求點M,使得CM∥平面PDA;

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      (Ⅲ)  在BC邊上是否存在點Q,使得二面角A-PD-Q為?若存在,確定點Q的位置;若不存在,請說明理由.

       

       

       

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      19. (本小題滿分12分)

          某社區(qū)舉辦2010年上海世博會知識宣傳活動,進行現(xiàn)場抽獎. 抽獎規(guī)則是:盒中裝有10張大小相同的精美卡片,卡片上分別印有“世博會會徽”或“海寶”(世博會吉祥物)圖案.參加者每次從盒中抽取卡片兩張,若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎.

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       (Ⅰ)活動開始后,一位參加者問:盒中有幾張“海寶”卡?主持人笑說:我只知道若從盒中抽兩張都不是“海寶”卡的概率是.求抽獎者獲獎的概率;

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      (Ⅱ)現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎,抽后放回,另一人再抽.用表示獲獎的人數(shù).求的分布列及

       

       

       

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      20. (本小題滿分12分)

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            圓、橢圓、雙曲線都有對稱中心,統(tǒng)稱為有心圓錐曲線,它們統(tǒng)一的標準方程為.圓的很多優(yōu)美性質(zhì)可以類比推廣到有心圓錐曲線中,如圓的“垂徑定理”的逆定理:圓的平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦. 類比推廣到有心圓錐曲線:

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      已知直線與曲線交于兩點,的中點為,若直線(為坐標原點)的斜率都存在,則.

      這個性質(zhì)稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理”.

      (Ⅰ)證明有心圓錐曲線的“垂徑定理”;

      (Ⅱ)利用有心圓錐曲線的“垂徑定理”解答下列問題:

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      ①     過點作直線與橢圓交于兩點,求的中點的軌跡的方程;

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      ②     過點作直線與有心圓錐曲線交于兩點,是否存在這樣的直線使點為線段的中點?若存在,求直線的方程;若不存在,說明理由.

       

       

       

       

       

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      21.(本小題滿分12分)

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      已知函數(shù).

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      (Ⅰ)若處取得極值,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

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        (Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間的最大值.

       

       

       

       

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      22. (本小題滿分14分)

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      已知數(shù)列滿足, .

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      (Ⅰ)若,證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;

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      (Ⅱ)若,是否存在實數(shù),使得對一切恒成立?若存在,求出的取值范圍,若不存在,說明理由;

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      (Ⅲ)當時,證明.

       

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      一、 A C C D A  B D B A C    D C

      二、13.   14. ①甲乙的平均數(shù)相同,均為85;② 甲乙的中位數(shù)相同,均為86;       ③乙的成績較穩(wěn)定,甲的成績波動性較大;……       15.       16.

      三、17(Ⅰ)

                  =

                  =

      得,

      .

      故函數(shù)的零點為.       ……………………………………6分

      (Ⅱ)由

      .又

      得 

               , 

                        ……………………………………12分

      18. 由三視圖可知:,底面ABCD為直角梯形,,PB=BC=CD=1,AB=2

                                  …………3分

      (Ⅱ) 當M為PB的中點時CM∥平面PDA.

      取PB中點N,連結(jié)MN,DN,可證MN∥DN且MN=DN

      ∴CM∥DN,∴CM∥平面PDA                                …………6分

       (Ⅲ)分別以BC、BA、BP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系.

      假設在BC邊上存在點Q,使得二面角A-PD-Q為  

       

      同理,,可得

      =,

      解得………………………………………12分

      19. (Ⅰ)設“世博會會徽”卡有張,由,得=6.

       故“海寶”卡有4張. 抽獎者獲獎的概率為.                 …………6分

      (Ⅱ),    的分布列為

        

      1

      2

      3

      4

       

      p

                                                                               ………………………………12分

      20. (Ⅰ)證明 設

      相減得  

      注意到  

      有        

      即                        …………………………………………5分

      (Ⅱ)①設

      由垂徑定理,

      即       

      化簡得  

      軸平行時,的坐標也滿足方程.

      故所求的中點的軌跡的方程為;

      …………………………………………8分

      ②     假設過點P(1,1)作直線與有心圓錐曲線交于兩點,且P為的中點,則

               

      由于 

      直線,即,代入曲線的方程得

               即    

                得.

      故當時,存在這樣的直線,其直線方程為

      時,這樣的直線不存在.        ………………………………12分

      21. (Ⅰ)

      得                   …………………………3分     

         

      時,時,

      故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.   ………………………5分

      (Ⅱ)由(Ⅰ)

      得 

      時,時,

      處取得極大值,

      ……………………………………7分

      (1)       當時,函數(shù)在區(qū)間為遞減 ,

      (2)     時, ,

      (3)       當時,函數(shù)在區(qū)間為遞增 ,

                                        

                                                ………………………………………12分

      22. (Ⅰ)

               

                    …………………………………6分

      (Ⅱ)解法1:由,得

      猜想時,一切恒成立.

      ①當時,成立.

      ②設時,,則由

      =

      *時,

      由①②知時,對一切,有.   ………………………………10分

      解法2:假設

      ,可求

      故存在,使恒成立.            …………………………………10分

      (Ⅲ)證法1:

      ,由(Ⅱ)知

                                           …………………………………14分

      證法2:

      猜想.數(shù)學歸納法證明

      ①當時,成立

      ②假設當時,成立

      由①②對,成立,下同證法1。

                                                  …………………………………14分

       

       

       

       


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