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福建省建甌一中09屆高三模擬考試

數(shù) 學(xué) 試題（理科）

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

第Ⅰ卷(選擇題，共50分)

一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確的選項(xiàng)填寫到答題卷相應(yīng)位置)

1.復(fù)數(shù)，則的值為（）

A．0 B．-1 C．1 D．2

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2.在等差數(shù)列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，則a+a+a等于（）

A.40 B.42 C.43 D.45

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3．已知數(shù)組滿足線性回歸方程，則“滿足線性回歸方程”是“”的 ( )

A．充要條件 B．充分不必要條件

C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件

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4.設(shè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，則所在的區(qū)間是（）

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A． B． C． D．

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5．已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，那么雙曲線的漸近線方程為（）

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A. B. C. D.

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6.已知直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，則函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程是（）

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A. B. C. D.

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7．已知展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于（）

A. 135 B. 270 C. 540 D. 1218

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8. 已知命題，命題，若命題“” 是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．或 B. 或 C. D.

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9.設(shè)函數(shù)f(x)是R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線y＝f(x)在x＝5處的切線的斜率為（）

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A．－ B．0 C． D．5

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10.某種運(yùn)算,運(yùn)算原理如圖1所示,則式子:的值是（）

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A．0 B． C．7 D．8

2,4,6

本卷包括必考題和選考題兩部分．第11題到第20題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答；第21題為選考題，請考生根據(jù)要求選答．

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二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分，把你的答案填在答題卷相應(yīng)題號(hào)的橫線上）

11．已知，則____________.

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12.若函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，則的取值范圍是

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13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意都有，且，則的的值為____ _.

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14.古代“五行”學(xué)說認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰，則這樣的排列方法有種（結(jié)果用數(shù)值表示）．

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15.如圖所示，正△ABC的中線AF與中位線DE相交于點(diǎn)G，已知△A^/ED是△AED繞邊DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，現(xiàn)給出下列四個(gè)命題：

1動(dòng)點(diǎn)A^/在平面ABC上的射影在線段AF上；

2恒有平面A^/GF⊥平面BCED；

3三棱錐A^/-FED的體積有最大值；

4異面直線A^/E與BD不可能垂直.

其中正確命題的序號(hào)是 .（寫出所有正確命題的序號(hào)）

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三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

16. （本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)，其中向量，

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，，且的圖象經(jīng)過點(diǎn)．

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（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的最小值及此時(shí)值的集合．

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17．（本小題滿分13分）如圖，已知三棱錐P―ABC中，底面是邊長為的等邊三角形，又PA=PB=，

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（I）證明平面平面ABC；

（Ⅱ）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值。

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18. （本小題滿分13分）為應(yīng)對(duì)金融危機(jī)，刺激消費(fèi)，某市給市民發(fā)放面額為100元的旅游消費(fèi)卷，由抽樣調(diào)查預(yù)計(jì)老、中、青三類市民持有這種消費(fèi)卷到某旅游景點(diǎn)消費(fèi)額及其概率如下表：

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200元

300元

400元

500元

老年

0．4

0．3

0．2

0．1

中年

0．3

0．4

0．2

0．1

青年

0．3

0．3

0．2

0．2

某天恰好有持有這種消費(fèi)卷的老年人、中年人、青年人各一人到該旅游景點(diǎn)，

（1）求這三人恰有兩人消費(fèi)額大于300元的概率；

（2）求這三人消費(fèi)總額大于或等于1300元的概率；

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（3）設(shè)這三人中消費(fèi)額大于300元的人數(shù)為，求的分布列及的數(shù)學(xué)期望。

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19.(本小題滿分13分)．如圖，設(shè)拋物線（）的準(zhǔn)線與軸交于，焦點(diǎn)為；以、為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為.

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（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程；

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（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，與拋物線交于、，如果以線段為直徑作圓，試判斷點(diǎn)能否在圓上，說明理由；

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（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使得的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)；若不存在，請說明理由．

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20．（本題滿分14分）函數(shù)．

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（1）試求的單調(diào)區(qū)間；

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（2）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)存在唯一零點(diǎn)的充要條件是；

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（3）求證：不等式對(duì)于恒成立．

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21._{選考題（本題滿分14}_分，共3_{小題，任選其中2}_{題作答，每小題7}_分）

（Ⅰ）選修4―2：矩陣與變換:

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在直角坐標(biāo)系下，已知△的頂點(diǎn)為，，，求△在矩陣作用下變換所得到的圖形的面積，這里矩陣，．

（Ⅱ）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程：

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已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．若直線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)P為曲線上一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線的距離的最小值．

（Ⅲ）_選修₄_－5_{：不等式選講：}

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已知實(shí)數(shù)滿足，，求的取值范圍．

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一、ABCBD BCABD

二、11.2 12. 13.4 14.10 15. ①②③

三、16. 解：（1）， 3分

由已知，得． 6分

（2）由（1）得， 8分

當(dāng)時(shí)，的最小值為， 10分

由，得值的集合為． 13分

17. 解：（I）取AB的中點(diǎn)O，連接OP，OC PA=PB POAB

又在中，，

在中，，又，故有

又，面ABC 4分

又 PO面PAB，面PAB面ABC 6分

（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OP為軸，軸，軸建立坐標(biāo)系，

高考資源網(wǎng)(www.ks5u.com)，中國最大的高考網(wǎng)站，您身邊的高考專家。如圖，則A 8分

設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為。

得

令，則 11分

設(shè)直線PB與平面PAC所成角為，

于是 13分

18. 解：（1）； 4分

（2）消費(fèi)總額為1500元的概率是： 5分

消費(fèi)總額為1400元的概率是： 6分

消費(fèi)總額為1300元的概率是：

＝，

所以消費(fèi)總額大于或等于1300元的概率是； 8分

（3），

，

＝

。所以的分布列為：

0.294

0.448

0.222

0.036

數(shù)學(xué)期望是：。 13分

19. 解：∵的右焦點(diǎn)

∴橢圓的半焦距，又，

∴橢圓的，.橢圓方程為.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，故橢圓方程為， 3分

（Ⅱ）依題意設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)為. 4分

將代入得.

設(shè)、，由韋達(dá)定理得，. 5分

又，.

7分

有實(shí)根， ∴點(diǎn)可以在圓上. 8分

（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)，

由解得：. 10分

∴，，又.即的邊長分別是、、 .時(shí)，能使的邊長是連續(xù)的自然數(shù)。 13分

20. 解：（1）． 1分

　當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增； 2分

當(dāng)，時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

時(shí)，，在上單調(diào)遞增． 3分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為． 4分

（2）充分性：時(shí)，由（1）知，在x=1處有極小值也是最小值，

即。而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在上有唯一的一個(gè)零點(diǎn)x=1． 6分

必要性：若函數(shù)f(x)存在唯一零點(diǎn)，即方程=0在上有唯一解，

因, 由（1）知，在處有極小值也是最小值f(a)，

f(a)=0,即． 7分

令，．

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減。，=0只有唯一解．

因此=0在上有唯一解時(shí)必有．

綜上：在時(shí)， =0在上有唯一解的充要條件是． 9分

（3）證明：∵1<x<2, ∴.

令，∴，11分

由（1）知，當(dāng)時(shí)，，∴，

∴．∴， 12分

∴F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴，

∴。∴． 14分

21. （Ⅰ）解：考慮在矩陣作用下，求出變換后的三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得三角形的面積，可先求得，由＝，得點(diǎn)在矩陣作用下變換所得到的點(diǎn)，同理求得在矩陣作用下變換所得到的點(diǎn)分別是，，計(jì)算得△的面積為3． 7分

（Ⅱ）解：直線的極坐標(biāo)方程，則，

即，所以直線的直角坐標(biāo)方程為； 2分

設(shè)，其中，則P到直線的距離

，其中，∴ 當(dāng)時(shí)，的最大值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為。 7分

（Ⅲ）解：由柯西不等式，得， 2分

即．由條件，得．解得， 2分

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立．代入時(shí)，；時(shí)，．所以，的取值范圍是． 7分

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