題目列表(包括答案和解析)
如圖，設(shè)拋物線
（
）的準線與
軸交于
，焦點為
；以、為焦點，離心率
的橢圓
與拋物線
在軸上方的一個交點為
.
（1）當(dāng)
時，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線
經(jīng)過橢圓的右焦點，與拋物線交于
、
，如果以線段
為直徑作圓，試判斷點與圓的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）是否存在實數(shù)
，使得
的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實數(shù)；若不存在，請說明理由．
如圖，設(shè)拋物線
（
）的準線與
軸交于
，焦點為
；以、為焦點，離心率
的橢圓
與拋物線
在軸上方的一個交點為
.
（1）當(dāng)
時，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線
經(jīng)過橢圓的右焦點，與拋物線交于
、
，如果以線段
為直徑作圓，試判斷點與圓的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）是否存在實數(shù)
，使得
的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實數(shù)；若不存在，請說明理由．
（
）的準線與
軸交于
，焦點為
；以、為焦點，離心率
的橢圓
與拋物線
在軸上方的一個交點為
.
時，求橢圓的方程；
經(jīng)過橢圓的右焦點，與拋物線交于
、
，如果以線段
為直徑作圓，試判斷點與圓的位置關(guān)系，并說明理由；
，使得
的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實數(shù)；若不存在，請說明理由．
（1）求AA1的長；
（2）求〈
,
〉；
（3）對于n個向量a1，a2，…,an，如果存在不全為零的n個實數(shù)λ1,λ2,…,λn，使得λ1a1+λ2a2+…+λ2an=0成立，則n個向量a1，a2，…，an叫做線性相關(guān)，不是線性相關(guān)的向量叫線性無關(guān)，判斷
、
、
是否線性相關(guān)，并說明理由.
己知在銳角ΔABC中，角
所對的邊分別為
，且
(I )求角
大小；
(II)當(dāng)
時，求
的取值范圍.
20．如圖1，在平面內(nèi)，
是
的矩形，
是正三角形，將沿
折起，使
如圖2，
為的中點，設(shè)直線
過點且垂直于矩形所在平面，點
是直線上的一個動點，且與點
位于平面的同側(cè)。
（1）求證：
平面；
（2）設(shè)二面角
的平面角為
，若
，求線段
長的取值范圍。
 |
21.已知A，B是橢圓
的左，右頂點，
，過橢圓C的右焦點F的直線交橢圓于點M，N，交直線
于點P，且直線PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列,R和Q是橢圓上的兩動點，R和Q的橫坐標之和為2，RQ的中垂線交X軸于T點
(1)求橢圓C的方程；
（2）求三角形MNT的面積的最大值
22. 已知函數(shù)
，
（Ⅰ）若
在
上存在最大值與最小值，且其最大值與最小值的和為
，試求
和
的值。
（Ⅱ）若為奇函數(shù)：
（1）是否存在實數(shù)，使得在
為增函數(shù)，
為減函數(shù)，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；
（2）如果當(dāng)
時，都有
恒成立，試求的取值范圍.
一、ABCBD BCABD
二、11.2 12. 
13.4 14.10 15. ①②③
三、16. 解：（1）
，
3分
由已知
，得
．
6分
（2）由（1）得
，
8分
當(dāng)
時，
的最小值為
，
10分
由，得
值的集合為
． 13分
17. 解：（I）取AB的中點O，連接OP，OC 
PA=PB PO
AB
又在
中，
，
在
中，
，又
，故有
又
， 
面ABC 4分
又 PO
面PAB，面PAB面ABC
6分
（Ⅱ）以O(shè)為坐標原點，
分別以O(shè)B，OC，OP為軸，
軸，
軸建立坐標系，
如圖，則A
8分
設(shè)平面PAC的一個法向量為
。
得
令
，則
11分
設(shè)直線PB與平面PAC所成角為
，
于是
13分
18. 解：（1）
；
4分
（2）消費總額為1500元的概率是：
5分
消費總額為1400元的概率是：
6分
消費總額為1300元的概率是：
＝
，
所以消費總額大于或等于1300元的概率是
；
8分
（3）
，
，
＝
。所以
的分布列為：
0
1
2
3
0.294
0.448
0.222
0.036
數(shù)學(xué)期望是：
。 13分
19. 解：∵
的右焦點
∴橢圓的半焦距
，又
，
∴橢圓的
， 
.橢圓方程為
.
（Ⅰ）當(dāng)
時，故橢圓方程為
， 3分
（Ⅱ）依題意設(shè)直線
的方程為：
，
聯(lián)立
得點
的坐標為
. 4分
將代入
得
.
設(shè)
、
，由韋達定理得
，
. 5分
又
，
.
7分
有實根， ∴點可以在圓上. 8分
（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)
，
由
解得：
. 10分
∴
，
，又
.即
的邊長分別是
、
、
.
時，能使的邊長是連續(xù)的自然數(shù)。 1
3分
20. 解：（1）
．
1分
當(dāng)
時，
，在
上單調(diào)遞增；
2分
當(dāng)
，
時，
，在
上單調(diào)遞減；
時，，在
上單調(diào)遞增．
3分
綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
4分
（2）充分性：
時，由（1）知，在x=1處有極小值也是最小值，
即
。而在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，
所以在上有唯一的一個零點x=1． 6分
必要性：若函數(shù)f(x)存在唯一零點，即方程=0在上有唯一解，
因, 由（1）知，在
處有極小值也是最小值f(a)，
f(a)=0,即
．
7分
令
， 
．
當(dāng)
時，
，
在上單調(diào)遞增；當(dāng)
時，
，
在上單調(diào)遞減。
，=0只有唯一解．
因此=0在上有唯一解時必有．
綜上：在時， =0在上有唯一解的充要條件是． 9分
（3）證明：∵1<x<2, ∴
.
令
，∴
，11分
由（1）知，當(dāng)時，，∴
，
∴
．∴
，
12分
∴F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴
，
∴
。∴
．
14分
21. （Ⅰ）解：考慮在矩陣
作用下，求出變換后的三角形的頂點坐標，從而求得三角形的面積，可先求得
，由
＝，得點
在矩陣
作用下變換所得到的點
，同理求得
在矩陣作用下變換所得到的點分別是
，
，計算得△
的面積為3．
7分
（Ⅱ）解：直線
的極坐標方程
，則
，
即
，所以直線的直角坐標方程為
； 2分
設(shè)
，其中
，則P到直線的距離
，其中
，∴ 當(dāng)
時，
的最大值為
；當(dāng)
時，的最小值為
。
7分
（Ⅲ）解：由柯西不等式，得
， 2分
即
．由條件，得
．解得
， 2分
當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立．代入
時，
；
時，
．所以，
的取值范圍是
．
7分
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