北京市2009屆高三第二次模擬考試

數(shù)學理科

（試卷總分150分 考試時間120分鐘）

第Ⅰ卷（選擇題 共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的.）

1．的值是（     ）

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A．                B．             C．           D．

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2．設，則（     ）

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A．       B．     C．   D．

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3．已知集合，集合，則（     ）

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A．           B．            C．         D．

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4．已知向量，，則與共線是與共線的（    ）

A． 充分不必要條件  B． 必要不充分條件  C．充要條件D． 既不充分也不必要條件

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5．已知正項等差數(shù)列的前6項和為9，成等比數(shù)列，則數(shù)列的公差為（    ）

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A．       B．          C．或     D． 或

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6．若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，則此雙曲線的離心率是(   )

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A.               B.            C.              D.

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7.設、為正實數(shù)，則下列不等式恒成立的是(  )

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①；②；③；④。

A. ①③            B. ②③④             C. ①③④            D. ①②③

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8．設是展開式的中間項，若在區(qū)間上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（   ）

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A．          B．          C．             D．

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9．函數(shù)的最小值是(    )

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A.              B.                C.              D.

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10．用平面截半徑為的球，若截面圓的內(nèi)接正三角形的邊長亦為，則三棱錐的體積為（      ）

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A．             B．                C．            D．

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學科網(wǎng)(Zxxk.Com)11.設是函數(shù)的反函數(shù)，則與的大小關系為（    ）

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A．        B.

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C．        D

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12．直線，將圓面分成若干塊，現(xiàn)用5種顏色給這若干塊涂色，每塊只涂一種顏色，且任意兩塊不同色，共有120種涂法，則m的取值范圍是                               （    ）

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A．    B．

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C．   D．

第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）

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二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確的答案填在指定位置上）

學科網(wǎng)(Zxxk.Com)13．若實數(shù)滿足，則的最大值為             。

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學科網(wǎng)(Zxxk.Com)14已知數(shù)列的前項和比集合的子集個數(shù)少１，則             。

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15.如圖，正四面體中，是底面上的高，為的中點，則與所成角的余弦值為             。

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16,已知點為的準線與軸的交點,點為焦點，點為拋物線上兩個點，若，則向量與的夾角為             。

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三．解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）．17.(本小題滿分10分)

已知的內(nèi)角的對邊分別為，其中，，

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（Ⅰ）若，求的值；

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（Ⅱ）若，求的面積。

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18. (本小題滿分12分)

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高中會考成績分A，B，C，D四個等級，其中等級D為會考不合格，某學校高三學生甲參加語文、數(shù)學、英語三科會考，三科會考合格的概率均為，每科得A，B，C，D 四個等級的概率分別為，

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（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若有一科不合格，則不能拿到高中畢業(yè)證，求學生甲不能拿到高中畢業(yè)證的概率；

（Ⅲ）若至少有兩科得A，一科得B，就能被評為三好學生，則學生甲被評為三好學生的概率；

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（Ⅳ）設為學生甲會考不合格科目數(shù)，求的分布列及的數(shù)學期望。

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19．（本小題滿分12分）

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已知函數(shù)（為常數(shù)）．

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（Ⅰ）當時，求的極值；

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（Ⅱ）若在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

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20．(本小題滿分12分)

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學科網(wǎng)(Zxxk.Com)已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，∥，，，點、分別在棱、上，且平面，

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（Ⅰ）求證：；

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（Ⅱ）求二面角的正切值的大��；

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（Ⅲ）求與平面所成角正切值的大小。

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21．(本小題滿分12分)

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已知雙曲線：的離心率為，過右焦點做漸近線：的平行線 交雙曲線與點，若，

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（Ⅰ）求雙曲線的方程；

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（Ⅱ）若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點和，且

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其中為原點，求的范圍。

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22．(本小題滿分12分)

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為數(shù)列的前項和且滿足，若，則

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（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

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（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和；

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（Ⅲ）設，求證：。

 

 

 

 

 

 

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1．解析：，故選A。

2．解析：∵

，

故選B。

3．解析：由，得，此時，所以，，故選C。

4．解析：顯然，若與共線，則與共線；若與共線，則，即，得，∴與共線，∴與共線是與共線的充要條件，故選C。

5．解析：設公差為，由題意得，；，解得或，故選C。

6．解析：∵雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，∴，又∵，∴，∴，∴雙曲線的離心率是。故選B.

7.解析：∵、為正實數(shù)，∴，∴；由均值不等式得恒成立，，故②不恒成立，又因為函數(shù)在是增函數(shù)，∴，故恒成立的不等式是①③④。故選C.

8．解析：∵，∴在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，∴，故選D。

9．解析：∵

，此函數(shù)的最小值為，故選C。

10．解析：如圖，∵正三角形的邊長為，∴，∴，又∵，∴，故選D。

11．解析：∵在區(qū)間上是增函數(shù)且，∴其反函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，∴，故選A

12．解析：如圖，①當或時，圓面被分成2塊，涂色方法有20種；②當或時，圓面被分成3塊，涂色方法有60種；

③當時，圓面被分成4塊，涂色方法有120種，所以m的取值范圍是，故選A。

13．解析：做出表示的平面區(qū)域如圖，當直線經(jīng)過點時，取得最大值5。

學科網(wǎng)(Zxxk.Com)14.解析：∵，∴時，，又時，滿足上式，因此，，

∴。

學科網(wǎng)(Zxxk.Com)15．解析：設正四面體的棱長為，連，取的中點，連，∵為的中點，∴∥，∴或其補角為與所成角，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴與所成角的余弦值為。

學科網(wǎng)(Zxxk.Com)16．解析：∵，∴，∵點為的準線與軸的交點，由向量的加法法則及拋物線的對稱性可知，點為拋物線上關于軸對稱的兩點且做出圖形如右圖，其中為點到準線的距離，四邊形為菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∴向量與的夾角為。

17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，，，…2分

∴，，………4分

（Ⅱ）∵，，∴，∴，………………………6分

又∵，∴，∴，………………………8分

∴�！�10分

18.解析：（Ⅰ）∵，∴；……………………理3文4分

（Ⅱ）∵三科會考不合格的概率均為，∴學生甲不能拿到高中畢業(yè)證的概率；……………………理6文8分

（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分別為，∴學生甲被評為三好學生的概率為�！�12分

（理）∵，，，�！�9分

∴的分布列如下表：

0

1

2

3

∴的數(shù)學期望�！�12分

19．(12分)解析：（Ⅰ）時，

，，

    

由得， 或   ………3分

 

 

+

0

－

0

+

遞增

極大值

遞減

極小值

遞增

，      ………………………6分

（Ⅱ）在定義域上是增函數(shù)，

對恒成立，即 

   ………………………9分

又（當且僅當時，）

               

 ………………………4分

學科網(wǎng)(Zxxk.Com)              

20．解析：（Ⅰ）∵∥，，∴，∵底面，∴，∴平面，∴，又∵平面，∴，∴平面，∴。………………………4分

（Ⅱ）∵平面，∴，，∴為二面角的平面角，………………………6分

，，∴，又∵平面，，∴，∴二面角的正切值的大小為�！�8分

（Ⅲ）過點做∥，交于點，∵平面，∴為在平面內(nèi)的射影，∴為與平面所成的角，………………………10分

學科網(wǎng)(Zxxk.Com)∵，∴，又∵∥，∴和與平面所成的角相等，∴與平面所成角的正切值為�！�12分

解法2：如圖建立空間直角坐標系，（Ⅰ）∵，，∴點的坐標分別是，，，∴，，設，∵平面，∴，∴，取，∴，∴�！�4分

（Ⅱ）設二面角的大小為，∵平面的法向量是，平面的法向量是，∴，∴，∴二面角的正切值的大小為。………………………8分

（Ⅲ）設與平面所成角的大小為，∵平面的法向量是，，∴，∴，∴與平面所成角的正切值為�！�12分

21.（Ⅰ） 解析：如圖，設右準線與軸的交點為，過點


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