專題練習 轉(zhuǎn)化思想在代數(shù)中的應(yīng)用
專題練習 數(shù)形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用
一. 填空題
1. 若A（-5，3）、B（3，3），則以AB為底邊、腰長為5的等腰三角形ABC的頂點C（點C不在坐標軸上）的坐標是______________。
應(yīng)填入：（-1，6）
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image002.gif)
________________。
應(yīng)填入：形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image004.gif)
3. 若第四象限點A到坐標原點O的距離為2，OA與x軸正半軸夾角為30°，則A點坐標是__________________。
應(yīng)填入：形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image006.gif)
4. 已知：A（3，-5），|AB|=13，點B在x軸負半軸上，則B點坐標是_____________。
應(yīng)填入：形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image008.gif)
5. 已知：如圖所示，△ABC中，A為坐標原點，AB在x軸上，∠BAC=180°－α（0°<α<90°），AC=m，則C點坐標（用α的三角函數(shù)及m表示）是_____________。
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應(yīng)填入：形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image012.gif)
6. 如圖所示，在矩形ABCD中，BD=10，△ABD的內(nèi)切圓半徑為2，切三邊于E、F、G，則矩形兩邊AB=________________，AD=_______________。
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image014.gif)
應(yīng)填入：6，8
二. 解答題
7. 已知：如圖所示，矩形AOBC中，以O(shè)為坐標原點，OB、OA分別在x軸、y軸上，A（0，4），∠OAB=60°，以AB為軸對折后，使C點落在D點處，求D點坐標。（利用點到軸的距離等于點坐標的絕對值溝通形與數(shù)）
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解：形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image018.gif)
8. 如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，點D在BC上，BD=4，AD=BC，形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image020.gif)
（1）DC的長；
（2）sinB的值。（圖形中線段和差作為等量關(guān)系）
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image022.gif)
解：（1）形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image024.gif)
設(shè)CD=3k，∴AD=5k
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image026.gif)
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image028.gif)
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9. 已知：如圖所示，在矩形ABCD中，以AB為直徑作圓O切CD于F，連AC交圓O于P，PE⊥AB于E，AB=a，求PE的長。（利用幾何定理構(gòu)造方程組）
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image036.gif)
略解：形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image038.gif)
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image040.gif)
10. 已知：如圖所示，△ABC內(nèi)接于圓O，AD是圓O直徑交BC于E。求證：形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image042.gif)
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image044.gif)
略證：形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image046.gif)
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11. 邊長為2的正方形ABCD的對角線交于O點，若CD、BA同時分別繞C點、B點逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置形成四邊形A′BCD′，設(shè)A′C交BD′于點O′，若旋轉(zhuǎn)60°時，點O運動到O′所經(jīng)過的路徑是線段還是曲線？長度是多少？（圖形運動中的相關(guān)計算）
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分析與解答：如圖所示，當D以C為圓心，CD為半徑逆時針旋轉(zhuǎn)60°到達D′點時，A同樣地旋轉(zhuǎn)到A′點，此時O以BC中點M為圓心，OM長為半徑，旋轉(zhuǎn)到O′形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image054.gif)
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12. 如圖所示，∠ABC=30°，D為切點，F(xiàn)G⊥AB于F，圓O圓心在AB上，連結(jié)形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image060.gif)
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若S四邊形EDGF=5S△BED，確定FG與圓O的位置關(guān)系，并說明理由。
（線段、面積作為函數(shù)中的變量，圖中面積和差作為等量關(guān)系）
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image062.gif)
解：形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image064.gif)
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當x=1時，即OF=1時，F(xiàn)為圓上一點，且FG⊥AB，所以F為切點，GF為圓O切線；當x=-5，不滿足題意，舍。
初三數(shù)學(xué)模擬練習（一）
一. 選擇題：（1~8題各3分，9~12題各4分）
1. 如果形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image090.gif)
，那么一定有（ ）
A. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image092.gif)
B.
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image094.gif)
C. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image096.gif)
D.
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image098.gif)
2. 下面計算正確的是（ ）
A. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image100.gif)
B. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image102.gif)
C. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image104.gif)
D. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image106.gif)
3. 當形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image108.gif)
A. 2 B.
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image110.gif)
C.
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image112.gif)
D.
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4. 若關(guān)于x的一元二次方程形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image116.gif)
有實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image118.gif)
B. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image120.gif)
C. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image122.gif)
D.
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image124.gif)
5. 關(guān)于x、y的方程組形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image126.gif)
只有一個實數(shù)解，那么a、b滿足的條件是（ ）
A. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image128.gif)
B.
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image130.gif)
C. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image132.gif)
D.
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image134.gif)
6. 直角坐標平面上有一點P，點P到y(tǒng)軸的距離為2，點P的縱坐標為形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image136.gif)
，則P點坐標一定是（ ）
A. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image138.gif)
B.
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image140.gif)
C. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image142.gif)
D.
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image144.gif)
7. 如果形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image146.gif)
時，函數(shù)形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image148.gif)
都是y隨x的增大而減小，那么（ ）
A. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image150.gif)
B. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image152.gif)
C. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image154.gif)
D. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image156.gif)
8. 若拋物線形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image158.gif)
的頂點在x軸上，則c值為（
）
A. 2 B.
0 C.
D.
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image160.gif)
9. 如圖所示，a、b、c、d的位置已經(jīng)確定，則下列不等式中不成立的是（ ）
A. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image162.gif)
B.
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image164.gif)
C. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image166.gif)
D.形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image168.gif)
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10. 在形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image172.gif)
中，如果形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image174.gif)
，那么是（
）
A. 直角三角形 B. 銳角三角形 C. 鈍角三角形 D. 銳角三角形或鈍角三角形
11. 已知兩數(shù)a=16，b=4，則a與b的比例中項是（ ）
A. 4 B.
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image176.gif)
C.
8 D.
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image178.gif)
12. 若一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則在這個圓錐的側(cè)面展開圖中，扇形圓心角的度數(shù)為（ ）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°
二. 填空題：（13~18題各3分，19、20兩題各4分）
13. 已知關(guān)于x的方程形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image180.gif)
的兩根之差是形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image182.gif)
，則m=______________。
14. 已知方程形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image184.gif)
的兩根為形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image186.gif)
，則形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image188.gif)
_____________。
15. 若分式方程形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image190.gif)
的增根為-1，則a=____________________。
16. 等腰三角形頂角的外角是100°，則它的一個底角是_____________________度。
17. 順次連結(jié)等腰梯形各邊中點所得的四邊形的對角線的長分別是5和8，則等腰梯形的面積是____________________。
18. 矩形的一條對角線長為形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image192.gif)
，這條對角線與一條邊夾角的余弦值為形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image194.gif)
，則矩形的面積是____________________形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image196.gif)
。
19. 半徑分別為1和2的兩圓交于A、B，過A點分別作兩圓的切線，恰好互相經(jīng)過另一個圓圓心，則AB長為__________________。
20. 如果扇形的半徑為10，扇形的弧所對的圓周角為36°，那么扇形的弧長為__________。
試題答案
一. 選擇題
1. D 2. C 3. A 4. D
5. B 6. D 7. D 8. A
9. C 10. C 11. D 12. D
二. 填空題
13. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image198.gif)
14.
形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image200.gif)
15. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image202.gif)
16.
50
17. 40 18. 8
19. 形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用%20首師大版.files/image204.gif)
20.
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專題復(fù)習一
三角形重心 垂心 形內(nèi)點的共性
盧婕
讀者都知道，三角形中三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中點的線段的長是對應(yīng)中線長的點的共性%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image002.gif)
，即：如果G是△ABC三條中線AD、BE、CF的交點，那么
點的共性%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image004.gif)
點的共性%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image006.jpg)
如圖1，從而可得：
點的共性%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image008.gif)
這個結(jié)果說明三組線段的比的和為1，非常奇妙的是三角形的垂心也有類似的性質(zhì)請看：
點的共性%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image010.jpg)
設(shè)H是△ABC三條高線AD、BE、CF的交點，因為
點的共性%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image012.gif)
所以點的共性%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image014.gif)
更為奇妙的是三角形內(nèi)的任意一點也有這樣的性質(zhì)：
設(shè)Q是△ABC內(nèi)任意一點，連結(jié)AQ、BQ、CQ并分別延長交對邊于D、E、F
點的共性%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image016.jpg)
過Q作QP∥AB，QH∥AC分別交BC于P、H，則：
點的共性%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image018.gif)
又由于△DPQ∽△DBA及△QPH∽△ABC
可得：點的共性%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image020.gif)
所以點的共性%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image022.gif)
讀者看到這里，是不是感到：數(shù)學(xué)，真奇妙！
一類二次根式題的統(tǒng)一解法
趙春祥
若a、b、c為非負有理數(shù)。
一解法%20專題指導(dǎo).files/image002.gif)
都是同類二次根式，利用這一性質(zhì)解題，對培養(yǎng)逆向思維大有好處。下面舉例說明。
例1 已知x、y都為正數(shù)，且一解法%20專題指導(dǎo).files/image004.gif)
，求x+y的值。
解：因為只有同類二次根式才能合并，而
一解法%20專題指導(dǎo).files/image006.gif)
又一解法%20專題指導(dǎo).files/image008.gif)
所以設(shè)一解法%20專題指導(dǎo).files/image010.gif)
（a、b為正整數(shù)），
則有一解法%20專題指導(dǎo).files/image012.gif)
即得a+b=3。
所以a=1，b=2
或a=2，b=1。
∴x=222，y=888
或x=888，y=222。
∴x+y=1110。
例2 若a、b、c為有理數(shù)，且等式
一解法%20專題指導(dǎo).files/image014.gif)
（ ）。
A. 1999 B. 2000 C. 2001 D. 不能確定
解：一解法%20專題指導(dǎo).files/image016.gif)
而一解法%20專題指導(dǎo).files/image018.gif)
一解法%20專題指導(dǎo).files/image020.gif)
因此，2a+999b+1001c=2000。
故選B。
例3 方程一解法%20專題指導(dǎo).files/image022.gif)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解：
一解法%20專題指導(dǎo).files/image024.gif)
考慮到x，y的對稱性得所求整數(shù)對為（0，336），（336，0），（21，189），（189，21），（84，84）。共有5對。
故選D。
例4 一解法%20專題指導(dǎo).files/image026.gif)
（x，y）中，x+y的最大值是（ ）。
A.1189 B. 1517 C. 1657 D. 1749
解：已知等式可化為
一解法%20專題指導(dǎo).files/image028.gif)
由此可設(shè)一解法%20專題指導(dǎo).files/image030.gif)
此時x+y=41（a2+b2）。
∵a、b為滿足等式a+b=7的正整數(shù)，
∴a=1，b=6或a=6，b=1時，
a2+b2有最大值為37。
則x+y的最大值為41×37=1517。
故選B。
例5 正整數(shù)a、m、n滿足
一解法%20專題指導(dǎo).files/image032.gif)
，則這樣的a、m、n取值（ ）
A. 有一組 B. 有二組 C. 多于三組 D. 不存在
解：將已知兩邊平方，得
一解法%20專題指導(dǎo).files/image034.gif)
，
根據(jù)有理數(shù)與無理數(shù)部分對應(yīng)相等，
得：一解法%20專題指導(dǎo).files/image036.gif)
∵m≥n，且m、n為正整數(shù)。
∴一解法%20專題指導(dǎo).files/image038.gif)
（不滿足①，舍去）。
∴a=3。
故選A。
一元二次方程的整數(shù)根
于瑩
一元二次方程的整數(shù)根問題難度較大，是中考特別是競賽中的爬坡題型。本文舉例說明與一元二次方程整數(shù)根有關(guān)問題的解法。
例1. 已知方程根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image002.gif)
的兩根都是整數(shù)，試求整數(shù)a的值。
思路分析：當a取值不同時，方程的系數(shù)就隨之不同，方程的根的情況也就發(fā)生變化。究意什么情況下，方程的兩根都是整數(shù)呢？還是從根與系數(shù)的關(guān)系入手比較好。
解：設(shè)方程的兩整數(shù)根為根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image004.gif)
、根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image006.gif)
，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得：
根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image008.gif)
（1）＋（2）得：根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image010.gif)
所以根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image012.gif)
根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image014.gif)
或根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image016.gif)
或根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image018.gif)
或根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image020.gif)
所以根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image022.gif)
或根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image024.gif)
或根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image026.gif)
或根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image028.gif)
因為根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image030.gif)
，所以根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image032.gif)
只有或符合題意，代入（2）得：
根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image034.gif)
例2. 已知方程根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image036.gif)
有兩個不等的負整數(shù)根，則a的值是______。
思路分析：本題的條件在“整數(shù)根”的基礎(chǔ)上更進一步，變?yōu)椤柏撜麛?shù)根”，這對系數(shù)a有了更多的限制。另外，本題的a沒有說它是整數(shù)，難度更大了。應(yīng)當抓住“負整數(shù)根”做文章。
解：根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image038.gif)
所以根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image040.gif)
根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image042.gif)
依題意有：根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image044.gif)
、根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image046.gif)
均為負整數(shù)，符合此條件的僅有根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image048.gif)
。
例3. 設(shè)m為自然數(shù)，且根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image050.gif)
，若方程根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image052.gif)
的兩根均為整數(shù)，則m＝______。
思路分析：題目已給出m的范圍，再加上判別式應(yīng)滿足的條件，可進一步對m加以限制，就不難求出符合條件的m值了。
解：根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image054.gif)
因為原方程的兩根均為整數(shù)，所以根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image056.gif)
必為完全平方數(shù)，且必為奇數(shù)的平方。于是由得根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image058.gif)
，在此范圍內(nèi)的奇完全平方數(shù)只有25和49。
所以根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image060.gif)
或根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image062.gif)
所以根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image064.gif)
或根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image066.gif)
經(jīng)檢驗，、24均符合題意。
誤區(qū)點撥：本題解法的最后一步檢驗雖一語帶過，但卻是一個必不可少的步驟。因為整系數(shù)一元二次方程的判別式是完全平方數(shù)只是該方程有整數(shù)根的必要條件，但不是充分條件。也就是說，根%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image068.gif)
為完全平方數(shù)，并不能保證方程一定有整數(shù)根，所以說，必須進行檢驗。
一元一次方程解的討論
李月旺
解含有字母系數(shù)的一元一次方程，最后都要化成.files/image002.gif)
的形式，它的解有三種不同的情況：
1. 當.files/image004.gif)
時，方程有唯一解；
2. 當.files/image006.gif)
時，方程有無數(shù)解；
3. 當.files/image008.gif)
時，方程無解。
下面舉例予以分析說明�！�
例1. 解關(guān)于x的方程.files/image010.gif)
解：當.files/image012.gif)
，即.files/image014.gif)
時，方程有唯一解：.files/image016.gif)
當.files/image018.gif)
，即.files/image020.gif)
時，原方程可化為：.files/image022.gif)
，方程無解
總結(jié)：此方程為什么不存在無窮解呢？因為只有當方程可化為.files/image024.gif)
時，方程才能有無窮解，而當時，.files/image026.gif)
；.files/image028.gif)
時，，a不可能既等于-2又等于3。所以不存在無窮解。
例2. 解關(guān)于x的方程.files/image031.gif)
解：原方程可化為.files/image033.gif)
當.files/image035.gif)
，即.files/image037.gif)
時，方程有唯一解：.files/image039.gif)
當.files/image041.gif)
，即.files/image043.gif)
時，方程有無數(shù)解
總結(jié)：此方程沒有無解的情況，因為方程可化為，而不會出現(xiàn).files/image045.gif)
的情形。
一些數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用
李光斗 趙國瑞
在直線，射線，線段這一部分內(nèi)容中，滲透了許多重要的數(shù)學(xué)思想和方法，下面舉例說明。
一. 數(shù)形結(jié)合思想
例1. 同學(xué)們?nèi)ス放灾矘�，每�?m植一棵樹，問在21m長的公路旁最多可植幾棵樹？你可能會不假思索地在回答，三七二十一，可植樹7棵，那就錯了，結(jié)合圖形觀察后就知道了。
解：從圖1看，顯然可植8棵。
學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image001.gif)
圖1
說明：對于這類題目要注意考慮線段的端點，否定容易出錯。
二. 方程思想
例2. 點D、E在線段AB上，且都在AB中點的同側(cè)，點D分AB為2：5兩部分，點E分AB為4：5兩部分，若DE=5cm，則AB的長為（ ）。
學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image002.gif)
圖2
解：由題意，得如圖2所示，設(shè)AB=x，則學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image004.gif)
，由學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image006.gif)
，得學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image008.gif)
，解得學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image010.gif)
，即學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image012.gif)
。
三. 整體思想
例3. 已知：如圖3所示，C是線段AB上一點，點D、E分別是AC、CB的中點，若學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image014.gif)
，求線段DE的長。
學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image015.gif)
圖3
解：∵D、E分別是AC、BC的中點
學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image017.gif)
說明：解答本題的關(guān)鍵是逆用分配律得出待求線段和已知線段這個整體的關(guān)系。
四. 分類討論思想
例4. 已知線段AB=8cm，在直線AB上畫線段BC使它等于3cm，求線段AC的長。
學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image018.gif)
圖4
分析：由于點C可能在線段AB上，也可能在線段AB外，因此需要分類討論。
解：當點C在線段AB上時，如圖4所示，學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image020.gif)
。
當點C在線段AB外時，如圖5所示，學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image022.gif)
。
學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image023.gif)
圖5
因此線段AC長為5cm或11cm。
五. 歸納猜想思想
例5. （2001年江蘇無錫中考題）
根據(jù)題意，完成下列填空：如圖6所示，學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image025.gif)
與學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image027.gif)
是同一平面內(nèi)的兩條相交直線，它們有一個交點，如果在這個平面內(nèi)，再畫第3條直線學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image029.gif)
，那么這3條直線最多可有（ ）個交點；如果在這個平面內(nèi)再畫第4條直線學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image031.gif)
，那么這4條直線最多可有（ ）個交點；由此我們可以猜想：在同一平面內(nèi)，6條直線最多可有（ ）個交點。n（n為大于1的整數(shù)）條直線最多可有（ ）個交點（用含n的代數(shù)式表示）。
解：（1）畫圖觀察
學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image032.gif)
圖6學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image033.gif)
（2）列表歸納
學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image035.gif)
（3）猜想：
學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image037.gif)
，……
于是，可猜想n條直線最多可有交點個數(shù)為：
學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image039.gif)
于是，當學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image041.gif)
時，學(xué)思想在解題中的應(yīng)用%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image043.gif)
個交點。
2006屆專題復(fù)習 新題型解析 探究性問題
傳統(tǒng)的解答題和證明題，其條件和結(jié)論是由題目明確給出的，我們的工作就是由因?qū)Ч驁?zhí)果索因。而探究性問題一般沒有明確的條件或結(jié)論，沒有固定的形式和方法，要求我們認真收集和處理問題的信息，通過觀察、分析、綜合、歸納、概括、猜想和論證等深層次的探索活動，認真研究才能得到問題的解答。開放性、操作性、探索性和綜合性是探究性問題的明顯特征。這類題目形式新穎，格調(diào)清新，涉及的基礎(chǔ)知識和基本技能十分廣泛，解題過程中有較多的創(chuàng)造性和探索性，解答方法靈活多變，既需要扎實的基礎(chǔ)知識和基本技能，具備一定的數(shù)學(xué)能力，又需要思維的創(chuàng)造性和具有良好的個性品質(zhì)。
1. 閱讀理解型
這類題主要是對數(shù)學(xué)語言（也包括非數(shù)學(xué)語言）的理解和應(yīng)用進行考查。要求能夠讀懂題目，理解數(shù)學(xué)語言，特別是非數(shù)學(xué)語言，并能進行抽象和轉(zhuǎn)化及文字表達，能根據(jù)引入的新內(nèi)容解題。這是數(shù)學(xué)問題解決的開始和基礎(chǔ)。
例1. （1）據(jù)《北京日報》2000年5月16日報道：北京市人均水資源占有量只有300立方米，僅是全國人均占有量的習%20新題型解析%20探究性問題.files/image002.gif)
，世界人均占有量的習%20新題型解析%20探究性問題.files/image004.gif)
。問：全國人均水資源占有量是多少立方米？世界人均水資源占有量是多少立方米。
（2）北京市一年漏掉的水，相當于新建一個自來水廠。據(jù)不完全統(tǒng)計，全市至少有習%20新題型解析%20探究性問題.files/image006.gif)
個水龍頭、習%20新題型解析%20探究性問題.files/image008.gif)
個抽水馬桶漏水。如果一個關(guān)不緊的水龍頭，一個月能漏掉a立方米水；一個漏水馬桶，一個月漏掉b立方米水，那么一年造成的水流失量至少是多少立方米（用含a、b的代數(shù)式表示）；
（3）水源透支令人擔憂，節(jié)約用水迫在眉睫。針對居民用水浪費現(xiàn)象，北京市將制定居民用水標準，規(guī)定三口之家樓房每月標準用水量，超標部分加價收費。假設(shè)不超標部分每立方米水費1.3元，超標部分每立方米水費2.9元，某住樓房的三口之家某月用水12立方米，交水費22元，請你通過列方程求出北京市規(guī)定三口之家樓房每月標準用水量為多少立方米。
分析：本題是結(jié)合當前社會關(guān)注的熱點和難點問題――環(huán)保問題設(shè)計的題組，著重考查運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力，以及閱讀理解、檢索、整理和處理信息的能力，解好本題的關(guān)鍵是認真閱讀理解題意，剖析基本數(shù)量關(guān)系。
解：（1）習%20新題型解析%20探究性問題.files/image010.gif)
答：全國人均水資源占有量是2400立方米，世界人均水資源占有量是9600立方米。
（2）依題意，一個月造成的水流失量至少為習%20新題型解析%20探究性問題.files/image012.gif)
立方米
所以，一年造成的水流失量至少為習%20新題型解析%20探究性問題.files/image014.gif)
立方米
（3）設(shè)北京市規(guī)定三口之家樓房每月標準用水量為x立方米
依題意，得習%20新題型解析%20探究性問題.files/image016.gif)
解這個方程，得x=8
答：北京市規(guī)定三口之家樓房每月標準用水量為8立方米。
例2. 閱讀下列題目的解題過程：
已知a、b、c為習%20新題型解析%20探究性問題.files/image018.gif)
的三邊，且滿足習%20新題型解析%20探究性問題.files/image020.gif)
，試判斷的形狀。
解：習%20新題型解析%20探究性問題.files/image022.gif)
習%20新題型解析%20探究性問題.files/image024.gif)
問：（1）上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的代號：_______；
（2）錯誤的原因為：_________________________________；
（3）本題正確的結(jié)論為：___________________________。
分析：認真閱讀，審查每一步的解答是否合理、有據(jù)、完整，從而找出錯誤及產(chǎn)生錯誤的原因。
答：（1）C；（2）習%20新題型解析%20探究性問題.files/image026.gif)
也可以為零；（3）是等腰三角形或直角三角形。
例3. 先閱讀第（1）題的解法，再解第（2）題：
（1）已知習%20新題型解析%20探究性問題.files/image028.gif)
，p、q為實數(shù)，且習%20新題型解析%20探究性問題.files/image030.gif)
，求習%20新題型解析%20探究性問題.files/image032.gif)
的值。
解：習%20新題型解析%20探究性問題.files/image034.gif)
習%20新題型解析%20探究性問題.files/image036.gif)
習%20新題型解析%20探究性問題.files/image038.gif)
（2）已知習%20新題型解析%20探究性問題.files/image040.gif)
，m、n為實數(shù)，習%20新題型解析%20探究性問題.files/image042.gif)
，且習%20新題型解析%20探究性問題.files/image044.gif)
，求習%20新題型解析%20探究性問題.files/image046.gif)
的值。
分析：本題首先要求在閱讀第（1）題規(guī)范的解法基礎(chǔ)上，總結(jié)歸納出逆用方程根的定義構(gòu)造一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式值的方法，并加以應(yīng)用。但這種應(yīng)用并非機械模仿，需要先對第（2）題的第二個方程變形轉(zhuǎn)化，才能實現(xiàn)信息遷移，建模應(yīng)用。
解：習%20新題型解析%20探究性問題.files/image048.gif)
且
習%20新題型解析%20探究性問題.files/image050.gif)
習%20新題型解析%20探究性問題.files/image052.gif)
習%20新題型解析%20探究性問題.files/image054.gif)
由根與系數(shù)的關(guān)系可得習%20新題型解析%20探究性問題.files/image056.gif)
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