0  977  985  991  995  1001  1003  1007  1013  1015  1021  1027  1031  1033  1037  1043  1045  1051  1055  1057  1061  1063  1067  1069  1071  1072  1073  1075  1076  1077  1079  1081  1085  1087  1091  1093  1097  1103  1105  1111  1115  1117  1121  1127  1133  1135  1141  1145  1147  1153  1157  1163  1171  3002 

本資料來源于《七彩教育網(wǎng)》http://www.7caiedu.cn

2009年中考語文全真模擬試題

注意事項(xiàng):

 

1.本試卷滿分150分,答題時(shí)間150分。

 

2.試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分,請(qǐng)務(wù)必在“答題卷”上答題,在“試題卷”上答題無效。

 

3.試卷分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷。第Ⅰ卷為79分,第Ⅱ卷為99分;卷面書寫8分。

 

4.考試結(jié)束時(shí),將“試題卷”和“答題卷”一并交回。

 

               第Ⅰ卷(共79分)

 

試題詳情

本資料來源于《七彩教育網(wǎng)》http://www.7caiedu.cn

2009年中考語文模擬試卷(一)

注意事項(xiàng):

1.本試卷滿分150分,答題時(shí)間150分。

2.試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分,請(qǐng)務(wù)必在“答題卷”上答題,在“試題卷”上答題無效。

3.試卷分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷。第Ⅰ卷為79分,第Ⅱ卷為99分;卷面書寫8分。

4.考試結(jié)束時(shí),將“試題卷”和“答題卷”一并交回。

           第Ⅰ卷(共79分)

 

試題詳情

江蘇省常州中學(xué)09屆高三第三次調(diào)研考試

第Ⅰ卷(選擇題 共44分)

試題詳情

2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測(cè)

專題五  立體幾何

 

1.       如圖, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),  (I)求證:AC⊥BC1;  (II)求證:AC 1//平面CDB1;

解析:(1)證明線線垂直方法有兩類:一是通過三垂線定理或逆定理證明,二是通過線面垂直來證明線線垂直;(2)證明線面平行也有兩類:一是通過線線平行得到線面平行,二是通過面面平行得到線面平行.

答案:解法一:(I)直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三邊長(zhǎng)AC=3,BC=4AB=5,

∴ AC⊥BC,且BC1在平面ABC內(nèi)的射影為BC,∴ AC⊥BC1;

(II)設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E,連結(jié)DE,∵ D是AB的中點(diǎn),E是BC1的中點(diǎn),

∴ DE//AC1,∵ DE平面CDB1,AC1平面CDB1,

∴ AC1//平面CDB1;

解法二:∵直三棱柱ABC-A1B1C1底面三邊長(zhǎng)AC=3,BC=4,AB=5,∴AC、BC、C1C兩兩垂直,如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),直線CA、CB、C1C分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)

(1)∵=(-3,0,0),=(0,-4,0),∴=0,∴AC⊥BC1.

(2)設(shè)CB1與C1B的交戰(zhàn)為E,則E(0,2,2).∵=(-,0,2),=(-3,0,4),∴,∴DE∥AC1.

點(diǎn)評(píng):2.平行問題的轉(zhuǎn)化:

轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化

面面平行線面平行線線平行;

主要依據(jù)是有關(guān)的定義及判定定理和性質(zhì)定理.?

2.       如圖所示,四棱錐P―ABCD中,ABAD,CDAD,PA底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M為PC的中點(diǎn)。

(1)求證:BM∥平面PAD;

(2)在側(cè)面PAD內(nèi)找一點(diǎn)N,使MN平面PBD;

(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。

解析:本小題考查直線與平面平行,直線與平面垂直,

二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和推理論證能力.

答案:(1)的中點(diǎn),取PD的中點(diǎn),則

,又

四邊形為平行四邊形

,

     (4分)

 (2)以為原點(diǎn),以、 所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,,,,

在平面內(nèi)設(shè),  由        

        

的中點(diǎn),此時(shí)           (8分)

 (3)設(shè)直線與平面所成的角為

,設(shè)

   

故直線與平面所成角的正弦為                (12分)

解法二:

 (1)的中點(diǎn),取PD的中點(diǎn),則

,又

四邊形為平行四邊形

,

     (4分)

 (2)由(1)知為平行四邊形

,又

    同理,

    為矩形    ,,又

        

    作

,在矩形內(nèi),,

    的中點(diǎn)

當(dāng)點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí),                  (8分)

 (3)由(2)知為點(diǎn)到平面的距離,為直線與平面所成的角,設(shè)為,

直線與平面所成的角的正弦值為    

點(diǎn)評(píng):(1)證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直線平行即可;(2)求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點(diǎn)作已知平面的垂線,斜線和射影所成的角,即為所求角;(3)證明線面垂直只需證此直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來

3.       如圖,四棱錐中,側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且與底面垂直,底面的菱形,的中點(diǎn).

(Ⅰ)求與底面所成角的大;

(Ⅱ)求證:平面;

(Ⅲ)求二面角的余弦值.

解析:求線面角關(guān)鍵是作垂線,找射影,求異面直線所成的角采用平移法  求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法,比較好的方法是向量法 

答案:(I)取DC的中點(diǎn)O,由ΔPDC是正三角形,有PO⊥DC.

又∵平面PDC⊥底面ABCD,∴PO⊥平面ABCD于O.

連結(jié)OA,則OA是PA在底面上的射影.∴∠PAO就是PA與底面所成角.

∵∠ADC=60°,由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形,從而求得OA=OP=

∴∠PAO=45°.∴PA與底面ABCD可成角的大小為45°.               ……6分

(II)由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°,DC=2,DO=1,有OA⊥DC.

建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則,

由M為PB中點(diǎn),∴

,

∴PA⊥DM,PA⊥DC.   ∴PA⊥平面DMC.                              ……4分

(III).令平面BMC的法向量,

,從而x+z=0;  ……①,  ,從而. ……②

由①、②,取x=−1,則.   ∴可取

由(II)知平面CDM的法向量可取,

. ∴所求二面角的余弦值為-.  ……6分

法二:(Ⅰ)方法同上                              

(Ⅱ)取的中點(diǎn),連接,由(Ⅰ)知,在菱形中,由于,則,又,則,即,

又在中,中位線,,則,則四邊形,所以,在中,,則,故,

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,則為二面角的平面角,在中,易得,,

故,所求二面角的余弦值為

 

 點(diǎn)評(píng):本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法,綜合性較強(qiáng)   用平移法求異面直線所成的角,利用三垂線定理求作二面角的平面角,是常用的方法.

4.       如圖所示:邊長(zhǎng)為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=,ED//AF且∠DAF=90°。

文本框:     (1)求BD和面BEF所成的角的余弦;

   (2)線段EF上是否存在點(diǎn)P使過P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直,若存在,求EPPF的比值;若不存在,說明理由。

1,3,5

答案:(1)因?yàn)锳C、AD、AB兩兩垂直,建立如圖坐標(biāo)系,

則B(2,0,0),D(0,0,2),

E(1,1,2),F(xiàn)(2,2,0),

文本框:  設(shè)平面BEF的法向量

,則可取,

∴向量所成角的余弦為

。

即BD和面BEF所成的角的余弦

   (2)假設(shè)線段EF上存在點(diǎn)P使過P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直,不妨設(shè)EP與PF的比值為m,則P點(diǎn)坐標(biāo)為

則向量,向量

所以

 點(diǎn)評(píng):本題考查了線線關(guān)系,線面關(guān)系及其相關(guān)計(jì)算,本題采用探索式、開放式設(shè)問方式,對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解題提出了較高要求。

5.       已知正方形  分別是、的中點(diǎn),將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為 

(I) 證明平面;

(II)若為正三角形,試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是否在直線上,證明你的結(jié)論,并求角的余弦值 

分析:充分發(fā)揮空間想像能力,重點(diǎn)抓住不變的位置和數(shù)量關(guān)系,借助模型圖形得出結(jié)論,并給出證明.

解: (I)證明:EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點(diǎn),

EB//FD,且EB=FD,

四邊形EBFD為平行四邊形 

BF//ED.

,平面 

(II)如右圖,點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過點(diǎn)A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結(jié)GC,GD 

ACD為正三角形,AC=AD.

CG=GD.

G在CD的垂直平分線上, 點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,

過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角  即.

設(shè)原正方體的邊長(zhǎng)為2a,連結(jié)AF,在折后圖的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF為直角三角形, .

 在RtADE中, .

,   

點(diǎn)評(píng):在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問題中,一般來說,位于同一平面內(nèi)的幾何元素相對(duì)位置和數(shù)量關(guān)系不變:位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的元素,位置和數(shù)量關(guān)系要發(fā)生變化,翻折問題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。關(guān)鍵要抓不變的量.

6.       設(shè)棱錐M-ABCD的底面是正方形,且MA=MD,MA⊥AB,如果ΔAMD的面積為1,試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑.

文本框:  分析:關(guān)鍵是找出球心所在的三角形,求出內(nèi)切圓半徑.

解: ∵AB⊥AD,AB⊥MA,

∴AB⊥平面MAD,

由此,面MAD⊥面AC.

記E是AD的中點(diǎn),從而ME⊥AD.

∴ME⊥平面AC,ME⊥EF.

設(shè)球O是與平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.

不妨設(shè)O∈平面MEF,于是O是ΔMEF的內(nèi)心.

設(shè)球O的半徑為r,則r=

設(shè)AD=EF=a,∵SΔAMD=1.

∴ME=.MF=,

r=-1。

當(dāng)且僅當(dāng)a=,即a=時(shí),等號(hào)成立.

∴當(dāng)AD=ME=時(shí),滿足條件的球最大半徑為-1.

點(diǎn)評(píng):涉及球與棱柱、棱錐的切接問題時(shí)一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面,把空間問題化歸為平面問題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系。注意多邊形內(nèi)切圓半徑與面積和周長(zhǎng)間的關(guān)系;多面體內(nèi)切球半徑與體積和表面積間的關(guān)系。

 

 

試題詳情

江蘇省常州高級(jí)中學(xué)

20082009學(xué)年高三年級(jí)第二次階段教學(xué)質(zhì)量調(diào)研

                                                     2008.10

說明:1. 以下題目的答案全部做在答卷紙上。

      2. 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題, 共38分)和第Ⅱ卷(非選擇題, 共82分)兩部分.考試時(shí)間為100分鐘,滿分為120分.

第Ⅰ卷(選擇題  共38分)

試題詳情

 

淮安市2009屆高三年級(jí)十月四校聯(lián)考

物理試卷         

 

考生注意:1. 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。試卷總分120分,考試用時(shí)100分鐘

     2.請(qǐng)將第Ⅰ卷(選擇題)答案填涂到答題卡上,第Ⅱ卷(非選擇題)答案填寫到答卷紙上,否則答題無效。

 

第Ⅰ卷 選擇題(共31分)

試題詳情

2009屆鹽城市高三摸底試題

物   理

 

試題詳情

2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測(cè)

專題七  應(yīng)用性問題

 

1.       近年來,太陽能技術(shù)運(yùn)用的步伐日益加快.2002年全球太陽電池的年生產(chǎn)量達(dá)到670兆瓦,年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為34%.以后四年中,年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率逐年遞增2%(如,2003年的年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為36%).

   (1)求2006年全球太陽電池的年生產(chǎn)量(結(jié)果精確到0.1兆瓦);

   (2)目前太陽電池產(chǎn)業(yè)存在的主要問題是市場(chǎng)安裝量遠(yuǎn)小于生產(chǎn)量,2006年的實(shí)際安裝量為1420兆瓦.假設(shè)以后若干年內(nèi)太陽電池的年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率保持在42%,到2010年,要使年安裝量與年生產(chǎn)量基本持平(即年安裝量不少于年生產(chǎn)量的95%),這四年中太陽電池的年安裝量的平均增長(zhǎng)率至少應(yīng)達(dá)到多少(結(jié)果精確到0.1%)?

 

分析:本題命題意圖是考查函數(shù)、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決問題的能力。

解析(1)由已知得2003,2004,2005,2006年太陽電池的年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率依次為 ,,,.則2006年全球太陽電池的年生產(chǎn)量為    (兆瓦).      

   (2)設(shè)太陽電池的年安裝量的平均增長(zhǎng)率為,則.解得.因此,這四年中太陽電池的年安裝量的平均增長(zhǎng)率至少應(yīng)達(dá)到

  點(diǎn)評(píng):審清題意,理順題目中各種量的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵。

2.       某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為3元,并且每件產(chǎn)品需向總公司交元()的管理費(fèi),預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元()時(shí),一年的銷售量為萬件.(Ⅰ)求該分公司一年的利潤(萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式;(Ⅱ)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí),該分公司一年的利潤最大,并求出的最大值

分析:本題命題意圖是考查函數(shù)的解析式的求法、利用導(dǎo)數(shù)求最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí),考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.

解析:(Ⅰ)分公司一年的利潤(萬元)與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為:  

(Ⅱ),令(不合題意,舍去).

,.  在兩側(cè)的值由正變負(fù).

所以(1)當(dāng)時(shí),

(2)當(dāng)時(shí),

,

所以

答:若,則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí),分公司一年的利潤最大,最大值(萬元);若,則當(dāng)每件售價(jià)為元時(shí),分公司一年的利潤最大,最大值(萬元).

點(diǎn)評(píng):準(zhǔn)確進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算,掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)極值、最值的方法是解決此題的關(guān)鍵。

3.       (07安徽文理)某國采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金,數(shù)目為a1,以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加dd>0),因此,歷年所交納的儲(chǔ)務(wù)金數(shù)目a1,a2,…是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列,與此同時(shí),國家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策,不僅采用固定利率,而且計(jì)算復(fù)利.這就是說,如果固定年利率為rr>0),那么,在第n年末,第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?i>a1(1+ra-1,第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?i>a2(1+ra-2,……,以Tn表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額.

(Ⅰ)寫出TnTn-1(n≥2)的遞推關(guān)系式;

(Ⅱ)求證:TnAnBn,其中{An}是一個(gè)等比數(shù)列,{Bn}是一個(gè)等差數(shù)列.

分析:本小題命題意圖主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念和基本方法,考查學(xué)生的閱讀資料、提取信息、建立數(shù)學(xué)模型的能力,考查應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力。

解析:(1)我們有

(2),對(duì)反復(fù)使用上述關(guān)系式,得:

 

。①

在①式兩邊同乘以,得:

由②-①,得

,即 

如果記,,則,其中是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列;是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列。

    點(diǎn)評(píng):掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、以及求和方法是解決此題的關(guān)鍵。

4.        如圖,甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于A1處時(shí),乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處,此時(shí)兩船相距20海里.當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A1處時(shí),乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B1處,此時(shí)兩船相距10海里,問乙船每小時(shí)航行多少海里?(07山東理)

分析:本題命題意圖是通過實(shí)際問題考查了正弦定理、余弦定理、解三角形的能力以及分析解決問題的能力。

解析:如圖,連結(jié),,, 是等邊三角形,,在中,由余弦定理得

,

,因此乙船的速度的大小為

答:乙船每小時(shí)航行海里.

點(diǎn)評(píng):連接,構(gòu)造兩個(gè)可解的三角形是處理此題的關(guān)鍵,此外,還可連接來解。

5.      某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成,兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立,每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個(gè)等級(jí).對(duì)每種產(chǎn)品,兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí),產(chǎn)品為一等品,其余均為二等品.

   (Ⅰ)已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)

         果為A級(jí)的概率如表一所示,分別求生產(chǎn)

         出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P、P

   (Ⅱ)已知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示,用ξ、

         η分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤,在

        (I)的條件下,求ξ、η的分布列及

Eξ、Eη;

   (Ⅲ)已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額

         如表三所示.該工廠有工人40名,可用資.

項(xiàng)目

 

產(chǎn)品

工人(名)

資金(萬元)

8

8

2

10

 

         值時(shí),最大?最大值是多少?

        (解答時(shí)須給出圖示)

 

 

分析:本小題主要考查相互獨(dú)立事件的概率、隨機(jī)變量的分布列及期望、線性規(guī)劃模型的建立與求解等基礎(chǔ)知識(shí),考查通過建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型以解決實(shí)際問題的能力

解析(Ⅰ)解:

(Ⅱ)解:隨機(jī)變量、的分別列是

 

 

 

 

 

(Ⅲ)解:由題設(shè)知目標(biāo)函數(shù)為

作出可行域(如圖),作直線

l向右上方平移至l1位置時(shí),直線經(jīng)過可行域上

的點(diǎn)M點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大,此時(shí)              取最大值. 解方程組  

    得時(shí),z取最大值,z的最大值為25.2 .

點(diǎn)評(píng):

6.       某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),顧客采用的付款期數(shù)的分布列為

1

2

3

4

5

0.4

0.2

0.2

0.1

0.1

商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元;分2期或3期付款,其利潤為250元;分4期或5期付款,其利潤為300元,表示經(jīng)銷一件該商品的利潤。

(Ⅰ)求事件A:“購買該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款”的概率;

(Ⅱ)求的分布列及期望。www.xkb123.com

分析:本題命題意圖是主要考察對(duì)立事件的概率以及分布列及期望的知識(shí),考查學(xué)生的閱讀理解能力及分析解決問題能力。

解析:(Ⅰ)由表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”.知表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”

(Ⅱ)的可能取值為元,元,元.

,

的分布列為

(元).

點(diǎn)評(píng):掌握對(duì)立事件的概率和為1,學(xué)會(huì)用間接法求解概率問題。

7.       某人在一山坡P處觀看對(duì)面山項(xiàng)上的一座鐵塔,如圖所示,塔高BC=80(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),圖中所示的山坡可視為直線l且點(diǎn)P在直線l上,與水平地面的夾角為 , 試問此人距水平地面多高時(shí),觀看塔的視角∠BPC最大(不計(jì)此人的身高)

解:如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(200,0),B(0,220),C(0,300),

      直線l的方程為即        設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),      則    由經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式

   由直線PC到直線PB的角的公式得,

要使tanBPC達(dá)到最大,只須達(dá)到最小,由均值不等式

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取得等號(hào),故當(dāng)x=320時(shí)tanBPC最大,這時(shí),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y為

由此實(shí)際問題知,所以tanBPC最大時(shí),∠BPC最大,故當(dāng)此人距水平地面60米高時(shí),觀看鐵塔的視角∠BPC最大.

8.       如圖,設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線軸所圍成的三角形面積為,求(1)切線的方程;2)求證

(1)解: ,

切線的斜率為

故切線的方程為,即

(2)證明:令,又令,

從而

的最大值為,即

點(diǎn)評(píng):應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值,并結(jié)合函數(shù)圖象,可快速獲解,也充分體現(xiàn)了求導(dǎo)法

在證明不等式中的優(yōu)越性。

9.       對(duì)于定義在區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù),如果對(duì)任意的,均有不等式成立,則稱函數(shù)上是“友好”的,否則稱“不友好”的.現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù),給定區(qū)間.

(1)若在區(qū)間上都有意義,求的取值范圍;

(2)討論函數(shù)在區(qū)間上是否“友好”.

答案:(1)函數(shù)在區(qū)間上有意義,

必須滿足                               

(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)在區(qū)間上是“友好”的,

  

                     (*)

因?yàn)?sub>,而的右側(cè),

所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),從而

                            

于是不等式(*)成立的充要條件是

因此,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是“友好”的;當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是不“友好”的.

 

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

 

 

試題詳情

2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測(cè)

專題二 數(shù)列

1.       已知函數(shù),是方程f(x)=0的兩個(gè)根是f(x)的導(dǎo)數(shù);設(shè),(n=1,2,……)

 (1)求的值;

 (2)證明:對(duì)任意的正整數(shù)n,都有>a;

 (3)記(n=1,2,……),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。

解析:(1)∵,是方程f(x)=0的兩個(gè)根

;

 (2),

,∵,∴有基本不等式可知(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),∴同,樣,……,(n=1,2,……),

 (3),而,即,

,同理,又

2.       已知數(shù)列的首項(xiàng)(a是常數(shù),且),),數(shù)列的首項(xiàng))。

(1)證明:從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列;

(2)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且是等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)的值;

(3)當(dāng)a>0時(shí),求數(shù)列的最小項(xiàng)。

分析:第(1)問用定義證明,進(jìn)一步第(2)問也可以求出,第(3)問由的不同而要分類討論。

解:(1)∵

   (n≥2)

,

,∴ ,

從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列。

(2)

當(dāng)n≥2時(shí),

是等比數(shù)列, ∴(n≥2)是常數(shù),

3a+4=0,即 。

(3)由(1)知當(dāng)時(shí),,

所以,

所以數(shù)列2a+1,4a,8a-1,16a,32a+7,……

顯然最小項(xiàng)是前三項(xiàng)中的一項(xiàng)。

當(dāng)時(shí),最小項(xiàng)為8a-1;

當(dāng)時(shí),最小項(xiàng)為4a8a-1;

當(dāng)時(shí),最小項(xiàng)為4a;

當(dāng)時(shí),最小項(xiàng)為4a2a+1;

當(dāng)時(shí),最小項(xiàng)為2a+1。

 

 點(diǎn)評(píng):本題考查了用定義證明等比數(shù)列,分類討論的數(shù)學(xué)思想,有一定的綜合性。

考點(diǎn)二:求數(shù)列的通項(xiàng)與求和

3.       已知數(shù)列中各項(xiàng)為:

  12、1122、111222、……、  ……

                                                                                     

  (1)證明這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰整數(shù)的積.

  (2)求這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn

 

分析:先要通過觀察,找出所給的一列數(shù)的特征,求出數(shù)列的通項(xiàng),進(jìn)一步再求和。

解:(1) 

                   

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        個(gè)

         = A (A+1) ,   得證

        (2)

         

         點(diǎn)評(píng):本題難點(diǎn)在于求出數(shù)列的通項(xiàng),再將這個(gè)通項(xiàng)“分成” 兩個(gè)相鄰正數(shù)的積,解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。

        4.       已知數(shù)列滿足

        (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

        (Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和;

        (Ⅲ)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為.求證:對(duì)任意的

         

        分析:本題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列,對(duì)數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項(xiàng)以利于求和。

        解:(Ⅰ),

        ,數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.

         , 即.           

        (Ⅱ)

        .     

        (Ⅲ),

        .                     

        當(dāng)時(shí),則

        ,   對(duì)任意的.        

         點(diǎn)評(píng):本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列的通項(xiàng),第三問不等式的證明要用到放縮的辦法,這將到下一考點(diǎn)要重點(diǎn)講到。

        考點(diǎn)三:數(shù)列與不等式的聯(lián)系

        5.       已知為銳角,且

        函數(shù),數(shù)列{an}的首項(xiàng).

            ⑴ 求函數(shù)的表達(dá)式;

            ⑵ 求證:;

        ⑶ 求證:

        分析:本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系,第(2)問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì),第(3)問是轉(zhuǎn)化成可以裂項(xiàng)的形式,這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。

        解:⑴    又∵為銳角

                    ∴    ∴        

               ⑵       ∵     ∴都大于0

                    ∴      ∴       

               ⑶   

                    

                    ∴

                               

        ,  ,  又∵

                    ∴            ∴

                    ∴

        點(diǎn)評(píng):把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學(xué)中的重要思想,本題中的第(3)問不等式的證明更具有一般性。

         

        6.       已知數(shù)列滿足

        (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

        (Ⅱ)若數(shù)列滿足,證明:是等差數(shù)列;

        (Ⅲ)證明:

         

        分析:本例(1)通過把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列;第(2)關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系;第(3)問關(guān)鍵在如何放縮。

        解:(1),

        故數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列。

        ,

        (2)

        ②―①得,即

        ④―③得,即

        所以數(shù)列是等差數(shù)列

        (3)

        設(shè),則

         

         點(diǎn)評(píng):數(shù)列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了,而且不容易把握,對(duì)于這樣的題要多探索,多角度的思考問題。

        7.       已知函數(shù),數(shù)列滿足,

        ; 數(shù)列滿足, .求證:

        (Ⅰ)

        (Ⅱ)

            (Ⅲ)若則當(dāng)n≥2時(shí),.

         

        分析:第(1)問是和自然數(shù)有關(guān)的命題,可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明;第(2)問可利用函數(shù)的單調(diào)性;第(3)問進(jìn)行放縮。

        解:(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.

            (1)當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立;

            (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時(shí),

            因?yàn)?<x<1時(shí),,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).

            又f(x)在上連續(xù),所以f(0)<f()<f(1),即0<.

            故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立. 即對(duì)于一切正整數(shù)都成立.

            又由, 得,從而.

            綜上可知

            (Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0<x<1,

            由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).

            又g(x)在上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0.

        因?yàn)?sub>,所以,即>0,從而

        (Ⅲ) 因?yàn)?,所以, ,

            所以   ――――① ,

            由(Ⅱ)知:,  所以= ,

            因?yàn)?sub>, n≥2,

        所以 <<=――――② .

        由①② 兩式可知: .

         

         點(diǎn)評(píng):本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題,屬于難題,復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意。

        考點(diǎn)四:數(shù)列與函數(shù)、向量等的聯(lián)系

        8.       已知函數(shù)f(x)=,設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足=l,

           (1)寫出的值;

         (2)試比較的大小,并說明理由;

        (3)設(shè)數(shù)列滿足=,記Sn=.證明:當(dāng)n≥2時(shí),Sn(2n-1).

        分析:比較大小常用的辦法是作差法,而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。

        解:(1),因?yàn)?sub>所以

        (2)因?yàn)?sub>所以

        ,

        因?yàn)?sub>所以同號(hào),

        因?yàn)?sub>,…,

        (3)當(dāng)時(shí),

        ,

        所以,

        所以

         點(diǎn)評(píng):本題是函數(shù)、不等式的綜合題,是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)。

         

        9.       在平面直角坐標(biāo)系中,已知三個(gè)點(diǎn)列{An},{Bn},{Cn},其中

            ,滿足向量與向量共線,且點(diǎn)(B,n)在方向向量為(1,6)的

        線上

           (1)試用a與n表示;

           (2)若a6a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是an的最小值,試求a的取值范圍。

         

        分析:第(1)問實(shí)際上是求數(shù)列的通項(xiàng);第(2)問利用二次函數(shù)中求最小值的方式來解決。

        解:(1)

        又∵{Bn}在方向向量為(1,6)的直線上,

          

        (2)∵二次函數(shù)是開口向上,對(duì)稱軸為的拋物線

        又因?yàn)樵赼6與a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是數(shù)列{an}的最小項(xiàng),

        ∴對(duì)稱軸

         

         點(diǎn)評(píng):本題是向量、二次函數(shù)、不等式知識(shí)和交匯題,要解決好這類題是要有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的。

         

         

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