5. (2009湖南卷理)(本小題滿分13分)

某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為萬元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為萬元。

　 (Ⅰ)試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

　 (Ⅱ)當(dāng)=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使最小？

解 (Ⅰ)設(shè)需要新建個(gè)橋墩，

所以　

　 (Ⅱ)　 由(Ⅰ)知，

　 　令，得，所以=64 　　　

　 　當(dāng)0<<64時(shí)<0，　 在區(qū)間(0，64)內(nèi)為減函數(shù)；　　　　　

當(dāng)時(shí)，>0. 在區(qū)間(64，640)內(nèi)為增函數(shù)，

所以在=64處取得最小值，此時(shí)，

故需新建9個(gè)橋墩才能使最小。

3.(2009山東卷理)(本小題滿分12分)

兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對城A和城B的總影響度為0.065.

(1)將y表示成x的函數(shù)；

(11)討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最��？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離;若不存在，說明理由。

解法一:(1)如圖,由題意知AC⊥BC,,

其中當(dāng)時(shí)，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函數(shù)為

(2),,令得,所以,即,當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當(dāng)時(shí), 即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為時(shí), 函數(shù)有最小值.

解法二: (1)同上.

(2)設(shè),

則,,所以

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取”=”.

下面證明函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù), 在(160,400)上為增函數(shù).

設(shè)0<m₁<m₂<160,則

,

因?yàn)?<m₁<m₂<160,所以4>4×240×240

9 m₁m₂<9×160×160所以,

所以即函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù).

同理,函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù),設(shè)160<m₁<m₂<400,則

因?yàn)?600<m₁<m₂<400,所以4<4×240×240, 9 m₁m₂>9×160×160

所以,

所以即函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù).

所以當(dāng)m=160即時(shí)取”=”,函數(shù)y有最小值,

所以弧上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小.

[命題立意]:本題主要考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,運(yùn)用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的 能力和運(yùn)用換元法和基本不等式研究函數(shù)的單調(diào)性等問題.

2.(2009山東卷文)若函數(shù)f(x)=a-x-a(a>0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　 . 　　　

答案　 　

解析　 　設(shè)函數(shù)且和函數(shù),則函數(shù)f(x)=a-x-a(a>0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn), 就是函數(shù)且與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn),由圖象可知當(dāng)時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn),不符合,當(dāng)時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)(0,1),而直線所過的點(diǎn)(0，a)一定在點(diǎn)(0,1)的上方,所以一定有兩個(gè)交點(diǎn).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 　　　

[命題立意]:本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān)系,隱含著對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查,根據(jù)其底數(shù)的不同取值范圍而分別畫出函數(shù)的圖象進(jìn)行解答

2009年高考題

1.(2009福建卷文)若函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對值不超過0.25， 則可以是

A. 　　　　　　　B. 　　　

C. 　　　　　　D.

答案　 A

解析　 的零點(diǎn)為x=,的零點(diǎn)為x=1, 的零點(diǎn)為x=0, 的零點(diǎn)為x=.現(xiàn)在我們來估算的零點(diǎn)，因?yàn)間(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零點(diǎn)x(0, ),又函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對值不超過0.25，只有的零點(diǎn)適合，故選A。

8.(江蘇省啟東中學(xué)2008年高三綜合測試一)已知函數(shù)

(1)求反函數(shù)

(2)判斷是奇函數(shù)還是偶函數(shù)并證明。

解　 (1)令則

∵t²-2yt-1=0

∴t=y+

∵10^x=y+w.w.

∴f^-1(x)=lg(x+)(xR)

(2)

　　==-lg(x+)=-f^-1(x)

為奇函數(shù)

第三節(jié)　　 函數(shù)、方程及其應(yīng)用

7.(陜西長安二中2008屆高三第一學(xué)期第二次月考)定義在R上的函數(shù)y=f(x)，f(0)≠0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1，且對任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，

(1)求證：f(0)=1；

(2)求證：對任意的x∈R，恒有f(x)>0；

(3)證明：f(x)是R上的增函數(shù)；(4)若f(x)·f(2x-x²)>1，求x的取值范圍。

解 (1)令a=b=0，則f(0)=[f(0)]²∵f(0)≠0 ∴f(0)=1

(2)令a=x，b=-x則 f(0)=f(x)f(-x) ∴

由已知x>0時(shí)，f(x)>1>0，當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，f(-x)>0

∴又x=0時(shí)，f(0)=1>0

∴對任意x∈R，f(x)>0

(3)任取x₂>x₁，則f(x₂)>0，f(x₁)>0，x₂-x₁>0

　∴

　∴f(x₂)>f(x₁) ∴f(x)在R上是增函數(shù)

(4)f(x)·f(2x-x²)=f[x+(2x-x²)]=f(-x²+3x)又1=f(0)，

f(x)在R上遞增

∴由f(3x-x²)>f(0)得：3x-x²>0 ∴ 0<x<3

6.(陜西長安二中2008屆高三第一學(xué)期第二次月考)已知函數(shù)

　(1)判斷函數(shù)的奇偶性�！　� (2)判斷函數(shù)的單調(diào)性。

解 (1)

　 =

　 ∴為奇函數(shù)

(2)是R上的增函數(shù)，(證明略)

5.(江蘇省南通市2008屆高三第二次調(diào)研考試)冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則

滿足＝27的x的值是 　　　.

答案　

4.(2008年高考數(shù)學(xué)各校月考試題)已知函數(shù)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線對稱，令則關(guān)于函數(shù)有下列命題:

①的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；　　　　　 ②為偶函數(shù)；

③的最小值為0；　　　　　　　　　 ④在(0，1)上為減函數(shù).

其中正確命題的序號為　　　　　 (注：將所有正確命題的序號都填上)

答案　 ②③

3.(2007屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)新型題專題訓(xùn)練)一次研究性課堂上，老師給出函數(shù)

(xR)，三位同學(xué)甲、乙、丙在研究此函數(shù)時(shí)分別給出命題：

　 甲：函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1，1)；乙：若x₁≠x₂，則一定有f(x₁)≠f(x₂)；

丙：若規(guī)定，對任意N^*恒成立.　　

你認(rèn)為上述三個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)有　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 　　)　　

A．0個(gè)　　　　　　　 B．1個(gè)　　　　　　 C．2個(gè)　　　　　　 D．3個(gè)

答案　 D