5.雙曲線(xiàn)=1的實(shí)軸為A₁A₂，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，引A₁Q⊥A₁P，A₂Q⊥A₂P，A₁Q與A₂Q的交點(diǎn)為Q，求Q點(diǎn)的軌跡方程.

4.已知A、B、C是直線(xiàn)上的三點(diǎn)，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直線(xiàn)于點(diǎn)A，又過(guò)B、C作⊙O′異于的兩切線(xiàn)，設(shè)這兩切線(xiàn)交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程.

3．設(shè)直線(xiàn)2x-y-=0與y軸的交點(diǎn)為P，點(diǎn)P把圓(x+1)²+y² ＝25的直徑分為兩段，則其長(zhǎng)度之比是　　　　　　　　

2.高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(－5，0)、B(5，0)，則地面觀(guān)測(cè)兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_________.

1.已知橢圓的焦點(diǎn)是F₁、F₂，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F₁P到Q，使得|PQ|=|PF₂|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是(　　 )

A.圓　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.橢圓

C.雙曲線(xiàn)的一支　　　　　　　　　　　　　 D.拋物線(xiàn)

[例1]如圖所示，已知P(4，0)是圓x²+y²=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.

解：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.

又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理：在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²－|OR|²=36－(x²+y²)

又|AR|=|PR|=

所以有(x－4)²+y²=36－(x²+y²),即x²+y²－4x－10=0

因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng).

設(shè)Q(x,y)，R(x₁,y₁)，因?yàn)?i>R是PQ的中點(diǎn)，所以x₁=,

代入方程x²+y²－4x－10=0,得

－10=0

整理得 x²+y²=56,這就是所求的軌跡方程.

技巧與方法：對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問(wèn)題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程.

[例2]某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2 cm和一個(gè)直徑為1 cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測(cè)一個(gè)直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同號(hào)標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問(wèn)這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？

解：設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與⊙O相內(nèi)切，與⊙A、⊙B相外切.

建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)⊙P的半徑為r,則

|PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5

∴點(diǎn)P在以A、O為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2.5的橢圓上，其方程為

=1　　　　　　　　　 ①

同理P也在以O、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓上，其方程為

(x－)²+y²=1　　　　　　　　　　　 ②

由①、②可解得，∴r=

故所求圓柱的直徑為 cm.

[例3] 直線(xiàn)L：與圓O：相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

錯(cuò)解：易知直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)P(5,0)，再由，得：

∴，整理得：

分析：求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)應(yīng)注意它的完備性與純粹性。本題中注意到點(diǎn)M應(yīng)在圓內(nèi)，故易求得軌跡為圓內(nèi)的部分，此時(shí).

[例4] 已知A、B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到A與到B的距離比為常數(shù)λ,求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線(xiàn).

解：建立坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)|AB|=2a,則A(－a,0),B(a,0).

設(shè)M(x,y)是軌跡上任意一點(diǎn).

則由題設(shè)，得=λ,坐標(biāo)代入，得=λ,化簡(jiǎn)得

(1－λ²)x²+(1－λ²)y²+2a(1+λ²)x+(1－λ²)a²=0

(1)當(dāng)λ=1時(shí)，即|MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x=0，點(diǎn)M的軌跡是直線(xiàn)(y軸).

(2)當(dāng)λ≠1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x²+y²+x+a²=0.點(diǎn)M的軌跡是以

(－，0)為圓心，為半徑的圓.

[例5]若拋物線(xiàn)y=ax²-1上，總存在不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線(xiàn)y+x=0對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：若存在A(yíng)、B關(guān)于直線(xiàn)y+x=0對(duì)稱(chēng)，A、B必在與直線(xiàn)y+x=0垂直的直線(xiàn)系中某一條與拋物線(xiàn)y=ax²-1相交的直線(xiàn)上，并且A、B的中點(diǎn)M恒在直線(xiàn)y+x=0上.

解：如圖所示，設(shè)與直線(xiàn)y+x=0垂直的直線(xiàn)系方程為

y=x+b

由 得

ax²-x-(b+1)=0　 ①

令　 △＞0

即 (-1)-4a[-(b+1)]＞0

整理得　

　4ab+4a+1＞0　 �、�

在②的條件下，由①可以得到直線(xiàn)y=x+b、拋物線(xiàn)y=ax²-1的交點(diǎn)A、B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為

(,+b),要使A、B關(guān)于直線(xiàn)y+x=0對(duì)稱(chēng)，則中點(diǎn)M應(yīng)該在直線(xiàn)y+x=0上，所以有

+(+b)=0　 ③

即　 b=- 代入②解不等式得　 a＞

因此，當(dāng)a＞時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax²-1上總存在不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線(xiàn)y+x=0對(duì)稱(chēng).

3.在求軌跡問(wèn)題時(shí)常用的數(shù)學(xué)思想是：

(1)函數(shù)與方程的思想：求平面曲線(xiàn)的軌跡方程,是將幾何條件(性質(zhì))表示為動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y的方程及函數(shù)關(guān)系；

(2)數(shù)形結(jié)合的思想：由曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)求曲線(xiàn)方程是“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合；

(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想：通過(guò)坐標(biāo)系使“數(shù)”與“形”相互結(jié)合,在解決問(wèn)題時(shí)又需要相互轉(zhuǎn)化.

2.求軌跡方程的基本方法有：

(1)直接法：若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件是一些幾何量的等量關(guān)系,則將這些關(guān)系“翻譯”成x,y的關(guān)系式,由此得到軌跡方程.一般步驟是：建立坐標(biāo)系-設(shè)點(diǎn)-列式-代換-化簡(jiǎn)、整理.

(2)定義法：即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿(mǎn)足的條件符合某種特殊曲線(xiàn)的定義時(shí),則可根據(jù)這種曲線(xiàn)的定義建立方程.

(3)待定系數(shù)法：已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是某種圓錐曲線(xiàn),則可先設(shè)出含有待定系數(shù)的方程,再根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件確定待定系數(shù).

(4)相關(guān)點(diǎn)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)隨著另一動(dòng)點(diǎn)Q(x₁,y₁)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)時(shí),而動(dòng)點(diǎn)Q在某已知曲線(xiàn)上,且Q點(diǎn)的坐標(biāo)可用P點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示,則可代入動(dòng)點(diǎn)Q的方程中,求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

(5)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系不易建立時(shí),可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量t,并用t表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y,從而得到動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程 ,消去t,便可得動(dòng)點(diǎn)P的普通方程.

另外,還有交軌法、幾何法等.

1.在求曲線(xiàn)軌跡方程的過(guò)程中,要注意：

(1)理解題意,弄清題目中的已知和結(jié)論,發(fā)現(xiàn)已知和未知的關(guān)系,進(jìn)行知識(shí)的重新組合；

(2)合理進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)換,數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言,通過(guò)審題畫(huà)出必要的圖形或示意圖,把不宜于直接計(jì)算的關(guān)系化為能直接進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的關(guān)系式,把不便于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的語(yǔ)言化為便于數(shù)學(xué)處理的語(yǔ)言；

(3)注意挖掘題目中的隱含條件；

(4)注意反饋和檢驗(yàn).

4.坐標(biāo)變換

(1)坐標(biāo)變換　 在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線(xiàn)的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線(xiàn)的方程.坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位不改變，只改變?cè)�點(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡(jiǎn)稱(chēng)移軸.

(2)坐標(biāo)軸的平移公式　 設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(x,y)，在新坐標(biāo)系x ′O′y′中的坐標(biāo)是(x′,y′).設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O′在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則

(1)　　　　 或　　　 (2)

公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.