8.加工某種零件需經(jīng)過(guò)三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的合格率分別為、、，

且各道工序互不影響.

　 (Ⅰ)求該種零件的合格率；

　 (Ⅱ)從該種零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率.

(Ⅰ)解：；

　 (Ⅱ)解法一： 該種零件的合格品率為，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式得：

　　　　 恰好取到一件合格品的概率為　 ，

　　　　 至少取到一件合格品的概率為　

　　　　 解法二：

　　　　 恰好取到一件合格品的概率為，

　　　　 至少取到一件合格品的概率為　

6.一個(gè)通訊小組有兩套設(shè)備，只要其中有一套設(shè)備能正常工作，就能進(jìn)行通訊.每套設(shè)備由3個(gè)部件組成，只要其中有一個(gè)部件出故障，這套設(shè)備就不能正常工作.如果在某一時(shí)間段內(nèi)每個(gè)部件不出故障的概率為p，計(jì)算在這一時(shí)間段內(nèi)，

(1)恰有一套設(shè)備能正常工作的概率；

(2)能進(jìn)行通訊的概率.

解：記“第一套通訊設(shè)備能正常工作”為事件A，“第二套通訊設(shè)備能正常工作”為事件B.

由題意知P(A)=p³，P(B)=p³，

P()=1－p³，P()=1－p³.

(1)恰有一套設(shè)備能正常工作的概率為P(A·+ ·B)=P(A·)+P(·B)

=p³(1－p³)+(1－p³)p³=2p³－2p⁶.

(2)方法一：兩套設(shè)備都能正常工作的概率為

P(A·B)=P(A)·P(B)=p⁶.

至少有一套設(shè)備能正常工作的概率，即能進(jìn)行通訊的概率為

P(A·+ ·B)+P(A·B)=2p³－2p⁶+p⁶=2p³－p⁶.

方法二：兩套設(shè)備都不能正常工作的概率為

P(·)=P()·P()=(1－p³)².

至少有一套設(shè)備能正常工作的概率，

即能進(jìn)行通訊的概率為1－P(·)=1－P()·P()=1－(1－p³)²=2p³－p⁶.

答：恰有一套設(shè)備能正常工作的概率為2p³－2p⁶，能進(jìn)行通訊的概率為2p³－p⁶.

(2005年高考·浙江卷·文17)袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是，從B中摸出一個(gè)紅球的概率為p．

　 (Ⅰ) 從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，共摸5次．(i)恰好有3次摸到紅球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到紅球的概率．

　 (Ⅱ) 若A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為12，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，求p的值．　

解：(Ⅰ)(ⅰ)

(ⅱ).

　(Ⅱ)設(shè)袋子A中有個(gè)球，袋子B中有個(gè)球，

由，得

例6　 在資料室中存放著書籍和雜志，任一讀者借書的概率為02，而借雜志的概率為08，設(shè)每人只借一本，現(xiàn)有五位讀者依次借閱，

計(jì)算：(1)5人中有2人借雜志的概率

(2)5人中至多有2人借雜志的概率

解：記“一位讀者借雜志”為事件A，則“此人借書”為，5位讀者各借一次可看作n次獨(dú)立重復(fù)事件，因此：

(1)5人中有2人借雜志的概率

(2)5人中至多有2人借雜志，包括三種情況：5人都不借雜志，5人中恰有1人借雜志，5人中恰有2人借雜志，因此所求概率

例2：有外形相同的球分別裝在三個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子中有10個(gè)小球。其中第一個(gè)盒子中有7個(gè)球標(biāo)有字母A，3個(gè)球標(biāo)有字母B；第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè)；第三個(gè)盒子中有紅球8個(gè)，白球2個(gè)。試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個(gè)盒子中任取一球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個(gè)盒子中任取一球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個(gè)盒子中任取一球。如果第二次取得的球是紅球，則稱試驗(yàn)成功，求試驗(yàn)成功的概率。

解：設(shè)事件A：從第一個(gè)盒子中取得一個(gè)標(biāo)有字母A的球；事件B：從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母B的球，則A、B互斥，且P(A)＝，P(B)＝；事件C：從第二個(gè)盒子中取一個(gè)紅球，事件D：從第三個(gè)盒子中取一個(gè)紅球，則C、D互斥，且P(C)＝，P(D)＝。

顯然，事件與事件互斥，且事件A與C是相互獨(dú)立的，B與D也是相互獨(dú)立的。所以試驗(yàn)成功的概率為+本次試驗(yàn)成功的概率為

思維點(diǎn)撥：對(duì)題中出現(xiàn)的事件進(jìn)行正確分類與重組是解題的關(guān)鍵。

例3：甲、乙、丙3人各進(jìn)行一次射擊，如果甲、乙2人擊中目標(biāo)的概率是0.8，丙擊中目標(biāo)的概率是0.6，計(jì)算：(1)3人都擊中目標(biāo)的概率；　 (2)至少有2人擊中目標(biāo)的概率；

(3)其中恰有1人擊中目標(biāo)的概率.

解：(1)記“甲、乙、丙各射擊一次，擊中目標(biāo)”分別為事件A、B、C彼此獨(dú)立，三人都擊中目標(biāo)就是事件A·B·C發(fā)生，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式得：

P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.8×0.6＝0.384

(2)至少有2人擊中目標(biāo)包括兩種情況：一種是恰有2人擊中，另一種是3人都擊中，其中恰有2人擊中，又有3種情形，即事件A·B·，A··C，·B·C分別發(fā)生，而這3種事件又

互斥，　 故所求的概率是P(A·B·)+P(A··C)+P(·B·C)+P(A·B·C)

P(A) ·P(B)·P()+P(A) ·P()·P(C)+P()·P(B) ·P(C)+P(A) ·P(B) ·P(C)

�。�0.8×0.8×0.4+0.8×0.2×0.6+0.2×0.8×0.6+0.8×0.8×0.6＝0.832

(3)恰有1人擊中目標(biāo)有3種情況，即事件A··， ·B·， ··C，且事件分別互斥，故所求的概率是P(A··)+P(·B·)+P(··C)

＝ P(A)·P()·P()+P()·P(B) ·P()+P()·P()·P(C)

＝0.8×0.2×0.4+0.2×0.8×0.4+0.2×0.2×0.6＝0.152.

說(shuō)明：題(3)還可用逆向思考，先求出3人都未擊中的概率是0.016，再用1-0.832-0.016可得

練習(xí)：設(shè)每門高射炮命中飛機(jī)的概率為0.6，試求：

(1)兩門高射炮同時(shí)射擊一發(fā)炮彈而命中飛機(jī)的概率；

(2)若今有一飛機(jī)來(lái)犯，問(wèn)需要多少門高射炮射擊，才能以至少99%的概率命中它？

解：(1)P=0.84

(2)設(shè)需要n門高射炮才能達(dá)目的，用A表示“命中飛機(jī)”這一事件，用A_i表示“第i門高射炮命中飛機(jī)”，則A₁、A₂…A_n相互獨(dú)立，故也相互獨(dú)立，故P(A)=1－P()=1－P()=1－P()P()…P()=1－.據(jù)題意P(A)≥0.99,∴1－≥99%,得n≥5.02.

答：至少需6門高射炮才能以99%的概率命中。

思維點(diǎn)撥： 本題若用直接法就不可能求解，故轉(zhuǎn)化為間接考慮。

[例4]A、B兩位同學(xué)各有五張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進(jìn)行游戲，當(dāng)出現(xiàn)正面朝上時(shí)A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片，如果某人已贏得所有卡片，則游戲終止.求擲硬幣的次數(shù)不大于7次時(shí)游戲終止的概率.

解：設(shè)表示游戲終止時(shí)擲硬幣的次數(shù)，

設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，則，可得：

(2005年高考·全國(guó)卷II·文18)

甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，單局比賽甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為0.6，本場(chǎng)比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束，設(shè)各局比賽相互間沒(méi)有影響，求

(Ⅰ)前三局比賽甲隊(duì)領(lǐng)先的概率；

(Ⅱ)本場(chǎng)比賽乙隊(duì)以3：2取勝的概率.(精確到0.001)

本小題主要考查相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算，運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。滿分12分

解：?jiǎn)尉直荣惣钻?duì)勝乙隊(duì)的概率為0.6，乙隊(duì)勝甲隊(duì)的概率為1－0.6＝0.4

(Ⅰ)記“甲隊(duì)勝三局”為事件A，“甲隊(duì)勝二局”為事件B，則

P(A)＝，P(B)＝

所以前三局比賽甲隊(duì)領(lǐng)先的概率為P(A)+P(B)＝0.648

(Ⅱ)若本場(chǎng)比賽乙隊(duì)3：2取勝，則前四局雙方應(yīng)以2：2戰(zhàn)平，且第五局乙隊(duì)勝，所以所求事件的概率為

(2005全國(guó)卷Ⅲ設(shè)甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器是否需要照顧相互之間沒(méi)有影響.已知在某一小時(shí)內(nèi)，甲、乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概率為0.125，

　 (Ⅰ)求甲、乙、丙每臺(tái)機(jī)器在這個(gè)小時(shí)內(nèi)需要照顧的概率分別是多少；

　 (Ⅱ)計(jì)算這個(gè)小時(shí)內(nèi)至少有一臺(tái)需要照顧的概率.　　　　　

　　　　　　　　　　　　 解：記“機(jī)器甲需要照顧”為事件A，“機(jī)器乙需要照顧”為事件B，“機(jī)器丙需要照顧”為事件C，由題意.各臺(tái)機(jī)器是否需要照顧相互之間沒(méi)有影響，因此，A，B，C是相互獨(dú)立事件

　 (Ⅰ)由題意得： P(A·B)=P(A)·P(B)=0.05

P(A·C)=P(A)·P(C)=0.1

P(B·C)=P(B)·P(C)=0.125

解得：P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0.5

所以, 甲、乙、丙每臺(tái)機(jī)器需要照顧的概率分別是0.2、0.25、0.5

　 (Ⅱ)記A的對(duì)立事件為B的對(duì)立事件為，C的對(duì)立事件為，

則，

于是

所以這個(gè)小時(shí)內(nèi)至少有一臺(tái)機(jī)器需要照顧的概率為0.7.

10.(2005江蘇)甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和。假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒(méi)有影響；每次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒(méi)有影響。

(Ⅰ)求甲射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率；

(Ⅱ)求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率；

(Ⅲ)假設(shè)兩人連續(xù)兩次未擊中目標(biāo)，則停止射擊。問(wèn)：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？

解:(Ⅰ)記“甲連續(xù)射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)”為事件A₁，由題意，射擊4次，相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故P(A₁)=1- P()=1-=。

答：甲射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率為；

　(Ⅱ) 記“甲射擊4次，恰好擊中目標(biāo)2次”為事件A₂，“乙射擊4次，恰好擊中目標(biāo)3次”為事件B₂，則

，，

由于甲、乙設(shè)計(jì)相互獨(dú)立，故。

答：兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率為；

(Ⅲ)記“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件A₃，“乙第i次射擊為擊中” 為事件D_i，(i=1，2，3，4，5)，則A₃=D₅D₄，且P(D_i)=，由于各事件相互獨(dú)立，故P(A₃)= P(D₅)P(D₄)P()=×××(1-×)=， 　　答：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是。

[探索題](2004湖南)甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.

(1)分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；

(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率.

解：(1)設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件，

由題設(shè)條件有:

由①③得P(B)=1－P(C)，

代入②得27［P(C)］²－51P(C)+22=0.

解得P(C)=或(舍去).

將P(C)=分別代入③②可得P(A)=，P(B)=，

即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別是，，.

(2)記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)至少有一個(gè)一等品的事件，則

P(D)=1－P()=1－［1－P(A)］［1－P(B)］［1－P(C)］=1－··=.

故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為.

備選題:

9．9粒種子分種在甲、乙、丙3個(gè)坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5. 若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種；若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒(méi)發(fā)芽，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種.

　 (Ⅰ)求甲坑不需要補(bǔ)種的概率；

　 (Ⅱ)求3個(gè)坑中恰有1個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率；

　 (Ⅲ)求有坑需要補(bǔ)種的概率.(精確到0.001)

解：(Ⅰ)因?yàn)榧卓觾?nèi)的3粒種子都不發(fā)芽的概率為，所以甲坑不需要補(bǔ)種的概率為　

(Ⅱ)3個(gè)坑恰有一個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率為

(Ⅲ)法一：因?yàn)?個(gè)坑都不需要補(bǔ)種的概率為，

所以有坑需要補(bǔ)種的概率為　

法二：3個(gè)坑中恰有1個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率為

恰有2個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率為　

3個(gè)坑都需要補(bǔ)種的概率為　

所以有坑需要補(bǔ)種的概率為　

8. 假設(shè)每一架飛機(jī)引擎在飛行中故障率為1－P，且各引擎是否故障是獨(dú)立的，如果至少50%的引擎能正常運(yùn)行，飛機(jī)就可以成功地飛行，問(wèn)對(duì)于多大的P而言，4引擎飛機(jī)比2引擎的飛機(jī)更為安全？

分析：4引擎飛機(jī)可以看作4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，要能正常運(yùn)行，即求發(fā)生k次(k≥2)的概率.同理，2引擎飛機(jī)正常運(yùn)行的概率即是2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生k次(k≥1)的概率，由此建立不等式求解.

解：4引擎飛機(jī)成功飛行的概率為

CP²(1－P)²+CP³(1－P)+CP⁴=6P²(1－P)²+4P³(1－P)+P⁴.

2引擎飛機(jī)成功飛行的概率為CP(1－P)+CP²=2P(1－P)+P².

要使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)安全，只要

6P²(1－P)²+4P³(1－P)+P⁴≥2P(1－P)+P².

化簡(jiǎn)，分解因式得(P－1)²(3P－2)≥0.

所以3P－2≥0，即得P≥.

答：當(dāng)引擎不出故障的概率不小于時(shí)，4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)安全.

7．(2006北京)某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.

方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過(guò)；

方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過(guò).

假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的概率分別是，且三門課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響.

　　 (Ⅰ)分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時(shí)考試通過(guò)的概率；

　　 (Ⅱ)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大小.(說(shuō)明理由)

　 解：記該應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的事件分別為A，B，C.

　　 則P(A)= a，P(B)= b，P(C)= c

(Ⅰ)　　 應(yīng)聘者用方案一考試通過(guò)的概率

應(yīng)聘者用方案二考試通過(guò)的概率

(Ⅱ)因?yàn)閍，b，c∈[0， 1]，所以

　 故p₁≥p₂, 即采用第一種方案，該應(yīng)聘者考試通過(guò)的概率較大.

6.法一：放1個(gè)球,被放入1號(hào)盒的概率為P=.n個(gè)球放入m個(gè)不同的盒子內(nèi)相當(dāng)于做n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). P_n(r)=C·()^r·(1－)^n－r=.

法二：把n個(gè)不同的球任意放入m個(gè)不同的盒子內(nèi)共有mⁿ個(gè)等可能的結(jié)果.其中1號(hào)盒內(nèi)恰有r個(gè)球的結(jié)果數(shù)為C(m－1)^n－r，故所求概率P(A)=.

[解答題]

6. 把n個(gè)不同的球隨機(jī)地放入編號(hào)為1，2，…，m的m個(gè)盒子內(nèi)，則1號(hào)盒恰有r個(gè)球的概率等于__________.

簡(jiǎn)答.提示：1-3.BDC;　 3.由C()^k()^5－k=C()^k+1·()^5－k－1，

即C=C，k+(k+1)=5，k=2;　 　　　4.他須解對(duì)5題或4題.P=()⁵+C×()⁴×(1－)=; 　　5.;　

5.甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為,甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次中至少一次命中的概率是________.

4.某學(xué)生參加一次選拔考試，有5道題，每題10分.已知他解題的正確率為，若40分為最低分?jǐn)?shù)線，則該生被選中的概率是________.